Les exposés de l'année 2013-2014
lundi 7 octobre
Julie Sauzeau
Un problème de dynamique des populations.
Je vais présenter les différentes étapes de la réduction d'un problème de dynamique des populations en N dimensions à un problème de résolution d'EDO en dimension 2. Pour cela, j'expliquerai ce qu'est la décomposition de Floquet-Magnus et je donnerai un théorème de variété centrale adapté au contexte.
lundi 4 novembre
Hélène Hivert
Schémas AP pour la limite de diffusion de l'équation cinétique.
Après avoir retrouvé formellement la limite de diffusion de l'équation cinétique nous mettrons en oeuvre des schémas multi-échelle pour la résoudre numériquement quel que soit le paramètre.
mercredi 20 novembre
Thomas Ourmières
Autour du laplacien de Dirichlet dans des triangles asymptotiquement plats.
Décrire les paires propres du laplacien de Dirichlet dans des domaines géométriques, même relativement simples, de l'espace ou du plan n'est pas chose facile. On sait très bien le faire lorsque ces domaines gémétriques sont tensoriels (rectangles, disques ... ) mais cela devient plus compliqué sinon. On s'intéressera ici au cas de triangles ayant une petite hauteur pour lesquels on peut obtenir des développements asymptotiques des valeurs propres et l'allure des fonctions propres. On sera amené à l'étude d'un modèle jouet en 1 dimension qui nous permettra d'obtenir certains résultats pour le triangle.
lundi 2 décembre
Quentin Liard
Autour des espaces de Fock...
Je vais parler essentiellement d'espace de Fock, de champ moyen pour des particules vérifiant la statistique de Bose-Einstein. Je vais développer le lien entre une équation de type Hartree non linéaire pour une particule, l'équation de Schrödinger dans l'espace de Fock et une équation de transport vérifiée par une certaine classe de mesures en dimension infinie. J'essaierai d'introduire quelques exemples d'états quantiques (cohérents, mixés) pour étudier leur propagation dans cette dynamique de champ moyen.
lundi 116 décembre
Matthew Paddick
Estimations conormales pour l'équation de Navier-Stokes compressible.
On construira et motivera les espaces de Sobolev conormaux sur le demi-espace. On verra ensuite l’utilisation de ces espaces sur l’équation de Navier-Stokes compressible avec condition de Navier au bord, dans le but d’obtenir l’existence locale de solutions sur un temps qui ne dépend pas des paramètres de viscosité lorsque ceux-ci sont proches de 0.
vendredi 17 janvier
Perrine Berment (Bordeaux)
Modélisation de la croissance de métastases de tumeurs gastro-intestinales au foie.
Après avoir créé un modèle de croissance tumorale, nous essaierons de répondre à plusieurs questions : Peut-on prédire la croissance tumorale avec ou sans traitement en fonction de l’histoire de la tumeur ? Peut-on aider à détecter au plus vite l’émergence de cellules résistantes au traitement ? Peut-on optimiser la thérapie ?
lundi 27 janvier
Xavier Lhebrard (Paris Est)
Un schéma par relaxation well-balanced pour le système shallow water MHD.
Le système MHD (magnétohydrostatique) décrit l’évolution d’un gaz chargé qui interagit avec un champ magnétique. En régime d’eaux peu profondes, le système shallow water MHD est pertinent. On introduit une approximation par relaxation de type Suliciu pour le système SWMHD avec fond plat. Sous des conditions subcharacteristic, le solveur satisfait une inégalité d’entropie discrète, et préserve la positivité de la hauteur de la couche fluide. Il résout exactement toutes les discontinuités de contact matériel et Alfven, ce qui assure une viscosité numérique modérée. De plus le schéma satisfait une consistance assymptotique avec la partie non-conservative du système. Dans le cas d’un fond non-plat, on utilise une méthode de reconstruction hydrostatique qui conduit à un schéma bien équilibré par rapport à une famille de discontinuités de contact. On notera que le système a quatre valeurs propres linéairement dégénérées, qui peuvent être résonnantes. Le solveur est consistant, satisfait une inégalité d’entropie semi-discrète, et préserve la positivité de l’épaisseur de la couche fluide. Par ailleurs, il est well-balanced pour les discontinuités de contact en résonnance matériel et les discontinuités de contact en résonnance matériel et Alfven.
lundi 10 février
Salomé Oudet
Quelques résultats d'existence pour des équations d'Hamilton-Jacobi.
Après avoir introduit la notion de solution de viscosité pour des équations d’Hamilton-Jacobi du second ordre, on s’intéressera à différents schémas de preuve pour avoir l’existence de solutions de viscosité. On commencera par aborder l’existence pour des équations d’Hamilton-Jacobi-Bellman issues de problèmes de contrôle optimal. Puis, nous aborderons des techniques de preuve liées à des résultats de stabilité, type viscosité évanescente. Enfin, nous parlerons de la méthode de Perron qui permet de construire explicitement des solutions pour des équations d’Hamilton-Jacobi plus générales.
lundi 17 février
Boris Pawilowsky
Introduction à la physique quantique.
Je rappellerai quelques définitions : espace de Fock, créateurs, annihilateurs, opérateur de Weyl et quelques résultats sur les mesures de Wigner et les matrices densités réduites.
lundi 24 février
Virgile Robbe (Nantes)
Petites valeurs propres pour une équation de Boltzmann linéaire à basse température.
On s’intéressera aux valeurs propres exponentiellement petites dans la limite semi-classique d’un opérateur non-autoadjoint lié à l’équation de relaxation linéaire. L’estimation cruciale d’hypocoercivité sera cependant obtenu dans un contexte non semi-classique et fera l’objet d’une mise à l’échelle.
lundi 17 mars
Loic Letreust
Mécanique quantique relativiste et le modèle du sac de soliton.
Dans une première partie, je présenterai l’opérateur de Dirac: la théorie de la relativité restreinte d’Einstein et sa traduction dans la mécanique quantique. Je donnerai la dérivation formelle de l’opérateur et quelques-unes de ces propriétés mathématiques. Je finirai la partie par une présentation de l’interprétation physique de l’opérateur: antiparticules, mer de Dirac,... Dans une seconde partie, je présenterai le modèle de soliton pour les quarks et les résultats obtenus. J’insisterai sur le principe de concentration-compacité.
mardi 25 mars
Jean-Philippe Miqueu
Un bagage de base en théorie spectrale.
Qu’est ce que le spectre essentiel ? Et pourquoi parle-t-on d’énergie ? Le but de cet exposé (informel) est de répondre à un certain nombre de questions (naïves) relatives à la théorie des opérateurs, tout en s’interrogeant sur les concepts physiques sous-jacents.
vendredi 4 avril
Hamdi Sakly
La dérivée de forme de l’opérateur intégral volumique en théorie de diffraction électromagnétique.
Dans cet exposé, on s’intéresse à la dérivée de forme de deux opérateurs intégraux volumiques, l’un diélectrique et l’autre magnétique et qui décrivent l’équation intégrale équivalente au problème de diffraction des ondes électromagnétiques de Maxwell. Dans un premier temps, on commence par introduire le problème de dérivée de forme en question et donner les différents outils indispensables pour l’aborder. Ces outils se regroupent autour de deux axes majeurs : les opérateurs pseudo-différentiels définis par une intégrale et la notion de dérivation par rapport au domaine. Ensuite, nous allons montrer comment ces deux opérateurs sont dérivables par rapport au domaine et que les dérivées de forme possèdent la même régularité que les opérateurs intégraux eux-mêmes. En plus, on va donner une forme explicite de ces dérivées. Comme conséquence, nous allons justifier la dérivabilité par rapport au domaine des solutions de chacun des deux problèmes diélectrique et magnétique et nous allons donner une caractérisation de ces dérivées en tant que solutions de deux nouvelles équations intégrales volumiques. Pour finir, nous allons donner une interprétation de ces résultats au moyen d’un algorithme permettant de calculer explicitement les dérivées de forme des solutions.
jeudi 10 avril
Yohann Le Floch
Autour des formules d’Euler-MacLaurin.
Les formules d’Euler-MacLaurin fournissent des développements asymptotiques pour des sommes de Riemann. Le cas classique est celui du segment $[0,1]$, que certains ont sans doute rencontré en cours de M1 sur les fonctions spéciales. Après avoir donné une démonstration peu connue dans le cas de la dimension 1, je parlerai de la généralisation naturelle en dimension supérieure, pour les "coins" et, si le temps me le permet, pour les polytopes.
mercredi 16 avril
Ophélie Rouby
Spectre d'un opérateur presque auto-adjoint.
Les conditions de Bohr-Sommerfeld caractérisent le spectre d’un opérateur pseudo-différentiel auto-adjoint. Nous verrons comment on peut trouver un résultat similaire à ces conditions pour une famille particulière d’opérateurs presque auto-adjoints en dimension un.
vendredi 18 avril
Ludovic Cesbron (Cambridge)
Diffusion anormale en limite d’équations cinétiques associées à un opérateur de Fokker-Planck fractionnaire sur un demi-espace.
On étudie le comportement asymptotique, en temps long et libre parcours moyen petit, d’équations cinétiques associées à un opérateur de Fokker-Planck fractionnaire sur un demi-espace. On s’intéressera à l’interaction entre l’opérateur non-local de Lévy-Fokker-Planck (et en particulier le Laplacien fractionnaire) et le bord en espace, et on montrera qu’à la limite on obtient une équation de diffusion anormale adaptée à la géométrie du domaine. On présentera le cas d’un demi-espace avec réflexion spéculaire sur le bord (définie au niveau mésoscopique).
vendredi 25 avril
Zineb Hassaina
Autour de la dynamique des poches de tourbillon.
Dans cet exposé nous allons discuter des résultats classiques et récents sur les équations d’Euler dans le plan. On mettra l’accent sur quelques aspects de la dynamique des tourbillons en allant de la construction des solutions faibles à la Yudovich à l’existence des V-states. Ces derniers sont en fait des poches de tourbillon qui ne se déforment pas lors de l’évolution et qui tournent sans cesse avec une vitesse angulaire constante. On verra vers la fin comment étendre ces résultats pour le modèle quasi-géostrophique et établir l’existence des poches en rotation uniforme. Pour la preuve, on fait appel à la théorie de la bifurcation, l’analyse complexe et l’analyse harmonique.
lundi 12 mai
Annabelle Collin (Saclay)
A surface-based model for cardiac electrophysiology and related inverse problems.
Cardiac electrophysiology describes and models chemical and electrical phenomena taking place in the cardiac tissue. Given the large number of related pathologies, there is an important need for understanding these phenomena. The electric wave propagating in the cardiac tissue can be represented by a nonlinear reaction-diffusion partial differential equation, coupled with an ordinary differential equation representing cellular activity. In this work, we propose a presentation of the bidomain model. Furthermore, the atria have very thin walls, mainly apparent as a thick surface in medical imaging. Our objective is to derive a surface bidomain model defined over the midsurface of the geometry, and able to take into account the anisotropy resulting from the preferred conduction direction along the muscle fibers, which direction rapidly varies across the thickness. We propose a mathematically justified model using an asymptotic analysis in the spirit of thin structural models (such as shells) in mechanics. Various assessments and simulations including a pathological case are proposed in order to validate our model. Then, we present realistic physiological simulations - with an anatomical surface mesh representing the mid-surface of the two atria - which allow us to produce complete electrocardiograms. In the last part of this presentation, we are interested in associated estimation problems. The complex bidomain model must be adapted to each individual case in order to produce predictive simulations for a given patient. In this context, we can use the abundant available medical data, especially the patient electrical activation maps in order to adapt the bidomain model. We have proposed novel observer methods specifically formulated for this combination of model and data.
mercredi 14 mai
Vinh Nguyen
New lipschitz bound for nonlinear elliptic equations and its application to large time behavior of solutions.
We obtain new oscillation and gradient bound for the viscosity solutions of nonlinear strictly elliptic equations in periodic setting. We use these bounds to study the asymptotic behavior of nonlinear parabolic equations.
lundi 19 mai
Maxime Tusseau
Limite de diffusion pour une équation de Schrödinger non-linéaire.
Dans cet exposé, je m’intéresserai au comportement de la solution de l’équation de Schrödinger non-linéaire (NLS). Pour cela, la méthode de la fonction test perturbée, introduite par Papanicolaou, Stroock et Varadhan en 1977 pour les EDO peut être adaptée dans le cas de cette EDP. J’aborderai l’étude de ce problème sur le tore 2-dimensionnel et je terminerai par expliquer les modifications à apporter dans le cas de $\mathbb{R}^n$.
vendredi 6 juin
Laurent Dietrich (Toulouse)
Accélération de fronts de réaction-diffusion par une ligne de diffusion rapide.
On considérera un système de réaction-diffusion qui couple des équations de densité de population sur un champ et sur une route en bordure, via des échanges de population. J’étudierai l’existence d’ondes progressives pour un tel système avec un terme de naissance particulier, et leur limite de grande diffusion (quand la diffusivité sur la route tend vers l’infini). Ce travail s’inscrit dans les premiers travaux de Berestycki, Roquejoffre, Rossi sur le sujet et ouvre la porte à l’étude d’une dynamique non triviale pour ce nouveau système.
lundi 16 juin
Charlotte Perrin (Le Bourget-du-Lac)
Équations de la mécanique des fluides et mouvement collectif.
Dans cet exposé je présenterai un modèle récemment développé pour le mouvement collectif. Le but est de justifier l’existence de solutions à ce système en dimension 1, pour cela on s’intéressera à la limite singulière d’équations de Navier-Stokes compressibles.
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