Les exposés de l'année 2012-2013
lundi 15 octobre
Marie Kopec
Une introduction aux équations différentielles stochastiques.
Cet exposé est une introduction à l’analyse numérique d’EDS. Après avoir rappelé la définition d’une EDS, j’expliquerai comment approcher la solution d’EDS. Je parlerai d’erreur forte et faible et j’expliquerai comment on peut diminuer cette erreur. Si j’ai le temps, je présenterai aussi quelques résultats récents.
mardi 6 novembre
Paolo Musolino
Harmonic functions in a domain with a small hole.
The asymptotic behaviour of the solutions of boundary value problems in domains with small holes has been largely investigated by many authors with different approaches. In this seminar, after an introductory part, we consider a Dirichlet problem for the Laplace operator in a bounded domain of $\mathbb{R}^n$ with a small set removed, and see what happens to the solution when the hole collapses to a point. Based on joint work with M. Dalla Riva, Universidade de Aveiro.
mardi 13 novembre
Nicolas Popoff
Opérateurs de Schrödinger magnétique sur des domaines modèles et opérateurs de Sturm-Liouville associés.
La recherche du bas du spectre de l’opérateur de Schrödinger avec champ magnétique sur des domaines modèles amène à l’étude d’opérateurs de Sturm-Liouville à paramètre. J’étudierai le cas où le domaine modèle est un demi-plan et je donnerai des résultats sur l’opérateur 1D associé. En particulier des outils d’EDOs et de théorie spectrale permettent de déterminer les variations des valeurs propres par rapport au paramètre et montrent que la condition au bord joue un rôle important. Je présenterai un autre opérateur de Sturm-Liouville à paramètre qui apparaît quand on restreint l’opérateur magnétique à des fonctions radiales de $\mathbb{R}^2$.
lundi 19 novembre
Cyril Rigault
Comportement de solutions autour d'états stationnaires pour des équations cinétiques gravitationnelles du type Vlasov-Poisson.
Je m’intéresserai ici à des équations cinétiques découlant de modèles gravitationnels : les équations de Vlasov-Poisson et de Vlasov-Manev. Après les avoir introduit brièvement, je ferai un point global sur l’étude de leurs états stationnaires et de la stabilité autour de ces états. Je détaillerai d’avantage de nouvelles méthodes basées sur la conservation de la mesurabilité par le flot : celles-ci ont notamment été développées par Florian Méhats, Mohammed Lemou et Pierre Raphaël, puis par moi-même.
mardi 4 décembre
Yohann Le Floch
Introduction à la quantification géométrique I.
La quantification géométrique a été introduite par Kostant et Souriau dans les années 1970 pour quantifier les variétés symplectiques qui ne sont pas nécessairement des cotangents. Après avoir rappelé le formalisme Hamiltonien de la mécanique classique et donné un sens au mot "quantifier", j’expliquerai comment la quantification de Weyl est utile dans le cas où l’espace des phases est le fibré cotangent d’une variété, et pourquoi il est nécessaire d’avoir une procédure plus générale pour traiter le cas où cet espace des phases est une variété symplectique plus générale. Je présenterai alors la quantification géométrique de manière progressive. J’essayerai d’expliquer simplement (dans la mesure du possible) les objets géométriques mis en jeu, de sorte qu’aucun prérequis ne sera nécessaire.
lundi 10décembre
Antti Koskela
Symplectic integration of ultra-cold plasmas.
We present a symplectic integration scheme for computing motion of particles in a time-independent magnetic field. The motivation for the scheme comes from the simulation of ultra-cold plasmas, where the electric force between the particles is weak compared to the external magnetic field, but computationally more expensive. By applying symmetric splitting to combine the contributions from the magnetic and electric field a symplectic and symmetric integrator is obtained, which shows favourable behaviour in numerical experiments when compared to other methods existing in literature.
lundi 14 janvier
Yohann Le Floch
Introduction à la quantification géométrique II.
Pas de résumé disponible.
mardi 29 janvier
Jérémy Sok
Le modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock.
Le modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock est une approximation de la QED qui permet de décrire le comportement d’électrons relativistes dans un champ externe (par exemple créé par les nucléons) interagissant avec les électrons virtuels de la mer de Dirac. Il a été introduit par Chaix et Iracaine en 1989. Partant du hamiltonien de la QED dans l’espace de Fock réalisant l’algèbre CAR, on se restreint à des états particuliers entièrement caractérisés par leur matrice de densité à un corps P : les états BDF. Ces matrices de densités sont des projecteurs orthogonaux de $L^2(\mathbb{R}^3;\mathbb{C}^4)$ et après "soustraction de l’énergie infinie du vide" (opération formelle sans sens mathématique) on obtient l’énergie BDF qui s’exprime à partir de ces matrices et d’un projecteur de référence dans le cas des états BDF. Plus précisément on aboutit à une énergie définie sur un sous-ensemble des opérateurs de Hilbert-Schmidt de $L^2(\mathbb{R}^3;\mathbb{C}^4)$. Se pose alors la question de l’existence de minimiseurs et je présenterai différents théorèmes dûs à Hainzl-Lewin-Séré. Un de leurs résultats consiste à montrer que l’existence de minimiseurs dans un secteur de charge q revient à montrer des inégalités de type inégalités de concentration-compacité.
mardi 12 février
Quentin Liard
Espaces de Fock et théorie du champ moyen.
Je vais faire 2,3 rappels sur les espaces de Fock avec les principaux opérateurs, dont la seconde quantification. Je présente ensuite un résultat de convergence de la théorie du champ moyen de F. Nier et Z. Ammari avec en particulier le lien à la limite entre l’équation de Hartree-Fock et l’équation de Schrödinger pour N particules.
mardi 12 mars
Nicolas Popoff
Quels domaines à coins pour résoudre nos EDP?
Pas de résumé disponible.
mardi 26 mars
Salomé Oudet
Introduction au contrôle optimal.
La théorie du contrôle optimal est l’étude de systèmes dynamiques dépendant d’un paramètre dynamique, appelé contrôle, soumis à certains critères de performance, et éventuellement à des contraintes (sur les contrôles, sur l’état du système, etc). Étant donné un tel système, l’objectif principal est de trouver un contrôle dit "optimal" du point de vue des critères de performance et satisfaisant les contraintes imposées. Cette théorie à de nombreuses applications dans des domaines variés tels que l’étude des trafics routiers, la physique, la robotique et peut, de manière générale, s’appliquer à tout système sur lequel ont peut agir. J’introduirai des méthodes et des résultats classiques de la théorie du contrôle optimal en m’appuyant sur un exemple simple de contrôle optimal dans $\mathbb{R}^n$, sans contrainte. En particulier, je montrerai le lien entre le problème de contrôle optimal considéré et une équation dite d’Hamilton-Jacobi. J’étudirai cette équation d’Hamilton-Jacobi par la théorie des solutions de viscosité et je m’intéresserai à la question de l’existence et de l’unicité de solution. Je montrerai entre autre que l’on dispose d’un principe de comparaison, obtenu par la méthode standard de duplication des variables.
mardi 2 avril
Guillaume Leboucher
Conditions d'ordres pour les méthodes de Runge-Kutta utilisant les B-séries.
Les méthodes de Runge Kutta sont des méthodes numériques génériques utilisées pour résoudre les équations différentielles ordinaires. Si les méthodes d’ordre 1, 2 ou 4 sont relativement simples à obtenir, qu’en est-il des méthodes d’ordre plus élevées ? L’utilisation des arbres à racines et des B-séries permet d’obtenir de manière compacte, des relations sur les coefficients de la méthode pour que la dite méthode soit d’ordre quelconque. On verra dans cet exposé comment obtenir la décomposition de la solution d’une EDO et d’une méthode de RK en B-séries.
mardi 16 avril
Hamdi Sakly
The essential spectrum of the integral operator for the magnetic scattering problem, a 2D approach..
On considère le problème de diffraction des ondes électromagnétiques en régime harmonique en temps et ceci pour une configuration bidimensionnelle. Le problème sera alors décrit à travers deux polarisations : une notée (TM) (Transverse Magnetic en Anglais) et l'autre notée (TE) (Transverse Electric en Anglais). Plus précisément, on va s'intéresser à la version (TE) dans le cas où la permittivité électrique est nulle partout et la perméabilité magnétique est constante par morceaux. En outre, on va donner les conditions nécessaires et suffisantes pour que ce dernier problème soit bien posé au sens de Fredholm. Pour y arriver, on va fournir une analyse spectrale d'un opérateur intégral volumique qui décrit l'équation équivalente au problème. Deux cas vont être abordés : un pour les domaines réguliers et l’autre pour les domaines à coins.
mardi 7 mai
Boris Pawilowsky
Espace de Fock.
En utilisant la seconde quantification de la transformée de Fourier discrète sur l’espace de Fock bosonique et le calcul de Wick je propose une manière de calculer par récurrence les solutions de l’équation de Schrödinger discrète à N particules dans le cas des bosons et en dimension finie.
mardi 12 juin
Alexandre Boritchev
Équation de Burgers: un modèle simplifié pour la turbulence.
L’exposé portera sur l’équation de Burgers stochastique: $u_t+u u_x = \nu u_{xx} + \eta, t>=0, x \in \mathbb{R}/\mathbb{Z}$, où $\eta$ est une force aléatoire de type bruit blanc (derivée de Brownien) en temps et lisse en espace. Cette équation est historiquement un modèle simplifié pour Navier-Stokes 3D, qui est LA grande équation de la mécanique des fluides. Je parlerai donc du lien avec la théorie de la turbulence. Cet exposé ne demande pas de prérequis particuliers ni en probabilités, ni en EDP (je donnerai les définitions pour le mouvement Brownien et les espaces de Sobolev).
mardi 25 juin
Marie Kopec
Comportement en temps long de schémas implicites approchant la solution de l'équation de Langevin.
Après avoir rappelé les notions nécessaires à la compréhension de mon exposé (erreur faible, lien entre EDS et EDP,...), je vous exposerai un résultat en temps long pour des schémas implicites permettant d’approcher les solutions de l’équation de Langevin. Je vous expliquerai aussi comment adapter une méthode déterministe (erreur rétrograde) aux équations différentielles stochastiques. Cet exposé ne nécessite pas de prérequis en analyse ou en probabilité.
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