Les exposés de l'année 2009-2010
mardi 20 octobre
Ludovic Goudenège
Introduction aux équations différentielles stochastiques.
On introduira les équations aux dérivées partielles stochastiques en dimension infinie. On explicitera en particulier les premiers outils et idées de démonstration d’existence et d’unicité sur un exemple : L’équation de Cahn-Hilliard. Quelques simulations numériques viendront égayer la présentation et réveiller les endormis.
mardi 3 novembre
Christophe Wacheux
A propos d'un lemme de Morse symplectique et du lemme de sommation de Borel.
Le lemme de Morse peut se voir comme un résultat de forme normale : il simplifie $f$ au voisinage d’un point critique non-dégénéré. Or cette partie quadratique, la Hessienne, est diagonalisable, ce qui permet donc de classifier les singularités, et donc les fonctions de Morse au voisinage de celles-ci. Si maintenant on rajoute une structure géométrique supplémentaire à notre espace de départ (dans notre cas, il s’agit d’une structure symplectique), et qu’on exige que toutes les transformations conservent la géométrie du problème, on modifie à la fois la classification des singularités, et le lemme de Morse n’a plus de raison d’être vrai (il faut désormais prouver que l’on peut prendre un difféomorphisme "symplectique" dans la démonstration). Le lemme de sommation de Borel nous permet d’envisager dans un premier temps de démontrer le résultat sur les séries formelles, pour se ramener ensuite au résultat "lisse modulo une fonction plate". Dans notre exposé, nous reviendrons sur le lemme de Morse et la notion de forme normale, puis, sans s’attarder sur la géométrie symplectique, nous développerons le lemme de Borel et la résolution formelle, puis la résolution "lisse modulo plat" du lemme de Morse symplectique.
mardi 24 novembre
Fanny Delebecque
Modèles asymptotiques à dimensionalité réduite pour le transport de gaz quantique dans plusieurs situations de fort confinement.
Pas de résumé disponible.
mardi 8 décembre
Sébastien Breteaux
Un exemple de passage de la physique quantique à la physique classique.
Je vous présenterai une équation décrivant le comportement d’un gaz en dehors de l’équilibre thermodynamique, l’équation de Boltzmann, ainsi que de la façon de modéliser ce même gaz à l’échelle microscopique avec une équation de Schrödinger stochastique. Je ferai ensuite partiellement le lien entre ces deux équations. En effet un problème datant de la fin du XIXème siècle est d’obtenir de façon rigoureuse l’équation de Boltzmann à partir d’un modèle à l’échelle microscopique, c’est-à-dire faire le lien entre les deux équations décrites précédemment. Je présenterai une idée pour faire ce passage du microscopique au macroscopique avec une équation de Boltzmann linéaire, plus simple que l’équation de Boltzmann.
mardi 19 janvier
Hani Ali
Ladder theorem for a Leray alpha model of turbulence.
In this paper, we study the Modified Leray alpha model with periodic boundary conditions. We show that when the initial data are infinitely differentiable then the unique solution are infinitely differentiable in space and time. Furthermore, this regular solution verifies a sequence of energy inequalities that is called “ladder inequalities”.
mardi 9 février
Sten Madec
Bifurcation en une valeur propre simple et problèmes elliptiques semi-linéaires.
Les systèmes non linéaires $f(u)=0$ ont souvent plusieurs solutions dont certaines déjà connues disons : $f(0)=0$. L’idée de la théorie de la bifurcation est d’introduire un nouveau paramètre $c$ et d’étudier les valeurs de $c$ telles que l’équation $f(c,u)=0$ admet des nouvelles solutions autres que $u=0$. Je présenterai le cas le plus simple de bifurcation : la bifurcation en une valeur propre simple. Je donnerai les idées principales de la démonstration du théorème de Crandall-Rabinowitz puis ferai le lien avec la stabilité des solutions stationnaires du problème $d_t u=f(c,u)$. Ensuite je montrerai comment cette méthode permet de construire des solutions à des problèmes elliptiques semi-linéaires. Enfin si le temps me le permet je présenterai comment cet outil permet de donner des critères de coexistence dans un problème issu de la biologie. Cet exposé est accessible à tous, les prérequis étant essentiellement le théorème des fonctions implicites, et quelques notions sur le spectre d’opérateurs elliptiques.
mardi 2 mars
Nicolas Popoff
Théorie spectrale avec une application à l'étude de l'opérateur de Schrödinger avec un potentiel magnétique sur un conducteur en forme de demi-espace.
Pas de résumé disponible.
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