Marie Kopec

Mardi 24 juin 2014

Quelques contributions à l'analyse numérique d'équations stochastiques (soutenance de thèse).

Ma thèse présente quelques résultats concernant le comportement en temps fini et en temps long de méthodes numériques pour des équations stochastiques. On s’intéresse d’abord aux équations différentielles stochastiques de Langevin et de Langevin amorti. On montre un résultat concernant l’analyse d’erreur faible rétrograde de ses équations par des schémas numériques implicites. En particulier, on montre que l’erreur entre le générateur associé au schéma numérique et la solution d’une équation de Kolmogorov modifiée est d’ordre élevé par rapport au pas de discrétisation. On montre aussi que la dynamique associée au schéma numérique est exponentiellement mélangeante. Dans un deuxième temps, on étudie le comportement en temps long d’une discrétisation en temps et en espace d’une EDPS semi-linéaire avec un bruit blanc additif, qui possède une unique mesure invariante . On considère une discrétisation en temps par un schéma d’Euler et en espace par une méthode des éléments finis. On montre que la moyenne, par rapport aux lois invariantes (qui n’est pas forcément unique) associées à l’approximation, par des fonctions tests suffisamment régulières est proche de la quantité correspondante pour. Plus précisément, on étudie la vitesse de convergence par rapport aux différents paramètres de discrétisation. Enfin, on s’intéresse à une EDPS semi-linéaire avec un bruit blanc additif dont le terme non-linéaire est un polynôme. On étudie la convergence au sens faible d’une approximation en temps par un schéma de splitting implicite.

Sylvain de Moor

Mercredi 11 juin 2014

Limites diffusives pour des équations cinétiques stochastiques (soutenance de thèse).

Cette thèse présente quelques résultats dans le domaine des équations aux dérivées partielles stochastiques. Une majeure partie d’entre eux concerne l’étude de limites diffusives de modèles cinétiques perturbés par un terme aléatoire. On présente également un résultat de régularité pour une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques ainsi qu’un résultat d’existence et d’unicité de mesures invariantes pour une équation de Fokker-Planck stochastique. Dans un premier temps, on présente trois travaux d’approximation-diffusion dans le contexte stochastique. Le premier s’intéresse au cas d’une équation cinétique avec opérateur de relaxation linéaire dont l’équilibre des vitesses a un comportement de type puissance à l’infini. L’équation est perturbée par un processus Markovien. Cela donne lieu à une limite fluide stochastique fractionnaire. Les deux autres résultats concernent l’étude de l’équation de transfert radiatif qui est un problème cinétique non linéaire. L’équation est bruitée dans un premier temps avec un processus de Wiener cylindrique et dans un second temps par un processus Markovien. Dans les deux cas, on obtient à la limite une équation de Rosseland stochastique. Dans la suite, on présente un résultat de régularité pour les équations aux dérivées partielles quasi-linéaires de type parabolique dont la partie aléatoire est gouvernée par un processus de Wiener cylindrique. Enfin, on étudie une équation de Fokker-Planck qui présente un terme de forçage aléatoire régi par un processus de Wiener cylindrique. On prouve d’une part l’existence et l’unicité des solutions de ce problème et d’autre part l’existence et l’unicité de mesures invariantes pour la dynamique de cette équation.

Maxime Tusseau

Lundi 19 mai 2014

Limite de diffusion pour une équation de Schrödinger non-linéaire.

Dans cet exposé, je m’intéresserai au comportement de la solution de l’équation de Schrödinger non-linéaire (NLS). Pour cela, la méthode de la fonction test perturbée, introduite par Papanicolaou, Stroock et Varadhan en 1977 pour les EDO peut être adaptée dans le cas de cette EDP. J’aborderai l’étude de ce problème sur le tore 2-dimensionnel et je terminerai par expliquer les modifications à apporter dans le cas de $\mathbb{R}^n$.

Marie Kopec

Lundi 7 avril 2014

Erreur faible pour des EDPS.

Après avoir fait quelques rappels sur les EDPS, je vous expliquerai comment est ce qu’on peut approcher numériquement les solutions d’une EDPS. Je m’intéresserai ensuite plus particulièrement à la notion d’erreur faible et aux différentes méthodes possibles pour approcher la loi de la mesure invariante.

Pierre-Yves Madec

Lundi 17 février 2014

EDSR ergodiques et EDPs avec conditions de Neumann au bord sous des hypothèses faiblement dissipatives.

On s’intéresse à une classe d’EDSR ergodiques en lien avec des EDPs avec condition de Neumann au bord. L’aléa du générateur est donné par un processus faiblement dissipatif. De plus ce processus est réfléchi dans un convexe de $\mathbb{R}^d$ non nécessairement borné. On présentera le lien entre cette classe d’EDSR ergodiques et certaines EDP.

Julie Bessac

Lundi 24 janvier 2014

Segmentation de données spatio-temporelles de vent.

Dans le but de simuler des conditions de vent réalistes en Atlantique Nord-Est, nous proposons un modèle multi-site auto-régressif à changements de régimes. Des régimes sont introduits afin de reproduire l’alternance de périodes avec des champs de vent d’intensité modérée et de faible variance avec des périodes où l’intensité du vent est plus variable en temps et en espace (passage de dépression, front,...). Dans chaque régime, le champ de vent en plusieurs sites (l’intensité du vent dans un premier temps puis le couple $(u,v)$) est modélisé par un modèle auto-régressif multivarié. Selon le modélisation choisie, les régimes peuvent être déterminés a priori ou rester latents, dans chaque cas une méthode d’estimation adéquate est nécessaire. Nous comparerons en simulation et prédiction ces deux types de modèles. Nous mettrons en évidence la difficulté de modéliser le couple $(u,v)$ dont la loi jointe est très complexe.

Oriane Blondel (Paris 7)

Lundi 16 décembre 2013

Relaxation hors équilibre dans le modèle FA-1f.

Julien Letemplier (Lille)

Lundi 2 décembre 2013

Unimodalité des temps d'atteinte pour des processus stables.

Après avoir fait quelques rappels sur les lois et processus stables, nous étudierons le caractère unimodale d’une variable aléatoire. Dans un deuxième temps, nous nous attarderons sur l’étude de l’unimodalité des temps d’atteinte d’un processus $\alpha$-stable réel. Les arguments reposeront sur l’unimodalité forte et quelques identités en loi.

Eric Miqueu (Vannes)

Lundi 18 novembre 2013

Déviations de type Cramér pour les processus de branchement en environnement aléatoire.

Les processus de branchement en environnement aléatoire (PBEA) sont une généralisation du processus de Galton-Watson, dans lequel la loi de reproduction des individus est choisie aléatoirement parmi un ensemble de lois et de manière i.i.d suivant les générations. Ils ont été introduit pour la première fois par Smith et Wilkinson en 1969. Des résultats de grandes déviations pour de tels processus ont été récemmment établis par Bansaye, Böinghoff, Kersting, Boeingho ou Berestycki. Ma thèse s’intéresse quant à elle aux déviations de type Cramér, c’est à dire à l’étude du comportement asymptotique des déviations modérées. L’exposé sera consacré à une présentation des principaux résultats récents sur le sujet ainsi qu’à certains de mes travaux en cours, généralisant certains résultats de Huang et Liu.

Christophe Poquet (Paris 7)

Mardi 15 octobre 2013

Transitions de phases induites par le bruit dans le modèle des Active Rotators.

Les systèmes excitables sont caractérisés par un effet de seuil : une petite perturbation n’entraîne qu’une réponse de faible amplitude du système, qui retourne alors très vite à son état d’équilibre. Cependant si l’amplitude de la perturbation qu’il subit dépasse un certain seuil, le système passe d’abord par son état d’excitation avant de revenir à l’état de repos, et ce retour se produit à travers une trajectoire complexe et non linéaire. Lorsque des systèmes excitables bruités sont mis en interaction, différents phénomènes peuvent se produire, suivant les paramètres d’interaction et de bruit. On peut en particulier voir apparaître un mouvement périodique pour le système global, alors que ce phénomène n’est pas présent pour les systèmes isolés. Je présenterai un exemple simple de systèmes excitables en interaction, le modèle des active rotators. Il s’agit d’un système d’oscillateurs uni-dimensionnels, soumis à un potentiel, bruités, et en interaction de type champ moyen. Nous verrons que l’on peut prouver pour ce modèle l’apparition d’un mouvement périodique dans la limite d’un nombre infini d’oscillateurs par une méthode de perturbation, et ce même si la dynamique des systèmes isolés n’est pas périodique.