Séminaire de Géométrie Algébrique Réelle

Séances passées de 2010-2011

Jeudi 30 septembre :
Alicia Dickenstein (Buenos Aires) : Binomials, hypergeometric functions and mass action kinetics chemical reaction network
Résumé : A binomial is a polynomial with two terms. Algebraic varieties cut out by binomials have a rich combinatorial structure. In the first part ot the talk we shall highlight basic -yet not so known- facts about binomial systems as basic blocks in the study of general polynomial systems. In the second part, we shall concentrate on two occurrences of binomials in a differential setting: in the beautiful formulation by Gelfand, Kapranov and Zelevinsky of multivariate hypergeometric systems of linear PDE´s, and in the reversible mass action kinetics chemical reaction systems of non linear ODE´s.

Jeudi 4 novembre :
Nicolas Dutertre (Marseille) : Sur la topologie des applications de Morin
Résumé : On considère une application de Morin entre deux variétés. On donne des résultats reliant la topologie de la variété de départ, celle de la variété d'arrivée et celle du lieu singulier de l'application. (Travail en commun avec Toshizumi Fukui, Université de Saitama, Japon).

Jeudi 25 novembre 16h15 et Vendredi 26 novembre 9h. :
François Loeser (Paris) :
Jeudi : Topologie modérée en géométrie non-archimédienne I : o-minimalité et corps valués
Vendredi : Topologie modérée en géométrie non-archimédienne II : définissabilité et espaces de Berkovich

Jeudi 2 décembre :
Ilia Itenberg (Strasbourg) : Homologie tropicale.
Résumé : L'exposé est consacré aux groupes d'homologie dans le cadre tropical. Sous certaines conditions, une variété tropicale X peut être approximée par une famille à un paramètre de variétés complexes, et des caractéristiques importantes des variétés de cette famille peuvent être exprimées en termes des groupes d'homologie tropicaux de X. (Travail en commun avec L. Katzarkov, G. Mikhalkin et I. Zharkov.)

Jeudi 9 décembre :
Clemens Bruschek (Vienne) : Arcs Spaces and Rogers-Ramanujan
Résumé : Arc spaces have been introduced in algebraic geometry as a tool to study singularities and they show strong connections with combinatorics as well. Exploiting these relations we obtain a new approach to the classical Rogers-Ramanujan Identities. The linking object is the Hilbert-Poincaré series of the arc space over a point of the base variety. In the case of the double point this is precisely the generating series for the integer partitions without equal or consecutive parts. This is joint work in progress with Hussein Mourtada and Jan Schepers.

Jeudi 16 décembre :
David Trotman (Marseille) : Le problème de Zariski pour les familles d'hypersurfaces complexes.
Résumé : Zariski a posé le problème, toujours ouvert, de l'invariance topologique de la multiplicité d'une hypersurface complexe en 1971. Je démontre la constance de la multiplicité dans une famille vérifiant les conditions de Whitney faibles introduites avec Karim Bekka en 1987. J'arrive aussi à borner les éventuels sauts de la multiplicité dans des familles polynomiales à nombre de Milnor constant.

Jeudi 17 février (avec le séminaire de géométrie analytique) :
Damien Gayet et Jean-Yves Welschinger (Lyon) : Raréfaction exponentielle des courbes réelles avec beaucoup de composantes
Résumé : On sait depuis Axel Harnack que le nombre de composantes connexes d'une courbe algébrique réelle plane lisse de degré N est au plus égal à (N-1)(N-2)/2 + 1. Nous établissons que parmi toutes les courbes planes de degré N, la part de celles qui atteignent cette borne maximale décroît exponentiellement vite avec N. Nous présenterons la démonstration de ce résultat, valable plus généralement pour les courbes réelles associées à un fibré ample d'une surface projective réelle. Cette démonstration fait intervenir un peu de théorie des probablités combinée avec la théorie des courants en géométrie kählerienne.

Jeudi 24 février :
Frédéric Mangolte (Angers) : Surfaces algébriques réelles infiniment homogènes
Résumé : Dans cet exposé, je présenterai les groupes d'automorphismes (ou difféomorphismes birationnels) de surfaces algébrique réelles et je déterminerai ceux qui ont une action infiniment transitive sur les points réels de la surface. Les surfaces les plus importantes dans ce contexte sont les fibrations en coniques dont la partie réelle a un petit nombre de composantes connexes. Il s'agit d'un travail effectué en collaboration avec Jérémy Blanc

Jeudi 10 mars
Mátyás Domokos (Budapest) : On the discriminant of real symmetric matrices
Résumé: The representation theory of the orthogonal group is applied to bound the number of summands in a presentation of the discriminant of real symmetric matrices as a sum of squares.

Jeudi 17 mars
Thierry Limoges (Nice) : Produits de filtration par le poids réelles
Résumé :La filtration par le poids pour les variétés algébriques réelles, développée par McCrory et Parusinski, est un analogue de la filtration par le poids de Deligne pour les variétés algébriques complexes. On associe à chaque variété X un complexe de chaînes filtré G_•C_*(X) calculant l'homologie de Borel-Moore H_*^BM (X), ainsi qu'une suite spectrale E^r(X), fonctoriels et additifs pour les inclusions fermées. Cette filtration est décrite par les ensembles symétriques par arcs et semi-algébriques. On donnera des relations entre les complexes filtrés et les suites spectrales pour des variétés X, Y et leur produit X× Y . On a également une théorie cohomologique sur H^*_c (X). On obtient des conditions sur les cup et cap produits de X.

Jeudi 24 mars
Jean-Philippe Monnier (Angers) : Fonctions rationnelles continues
Résumé :On étudie l'anneau des fonctions rationnelles qui se prolongent par continuité sur Rⁿ. Ces fonctions ont fait l'objet d'un article récent de Kollar. On établit plusieurs propriétés de cet anneau. Dans le cas où n=2, on caractérise les idéaux premiers de cet anneau a travers leurs lieux d'annulation.

Jeudi 21 avril
Alexandre Bardet (Angers) : Diviseurs à support réel sur les courbes réelles
Résumé : Dans un article sur les sommes de carrés, Scheiderer a montré que pour toute courbe réelle projective lisse, il existe un entier naturel N tel que tout diviseur de degré plus grand que N soit linéairement équivalent à un diviseur dont le support est totalement réel. Bien que la preuve laisse penser que l'entier N est grand, Huissman et Monnier ont montré qu'on pouvait prendre N = g−1+s si le nombre de composantes connexes s est plus grand que g. On s'intéressera alors à étendre des résultats de Monnier sur un analogue concernant les courbes singulières.

Jeudi 26 mai
Marcin Bilski (Cracovie): Algebraic approximation of analytic sets and maps.
Résumé : I will present a method of approximation of analytic sets with proper projection by algebraic sets. I will also discuss how the problem of algebraic approximation of analytic sets is related to the problem of algebraic approximation of analytic maps with images contained in algebraic varieties.