Archives du Séminaire de Géométrie Algébrique Réelle Réelle

Années: 2009-2010, 2008-2009, 2007-2008, 2006-2007, 2005-2006, 2004-2005, 2003-2004, 2002-2003, 2001-2002, 2000-2001, 1999-2000.

2009-2010

Jeudi 24 Septembre :
Masahiro Shiota (Nagoya) : o-minimal Hauptvermutung.
Résumé : Let R be a real closed field with an o-minimal structure which expands the semialgebraic structure. If two compact (=bounded and closed in Rⁿ) polyhedra are definably homeomorphic, they are PL homeomorphic.

Jeudi 15 Octobre :
Kartoué Mady Demdah : Théorème de h-cobordisme semi-algébrique: Validité sur tout corps réel clos, borne uniforme et non effectivité.
Résumé : Je presenterai la version semi-algébrique des théorèmes de h-cobordisme et s-cobordisme valides sur tout corps réel clos. Précisément partant d'un cobordisme semi-algébrique, on obtient un homéomorphisme de trivialisation semi-algébrique dont on peut borner la complexité en fonction de celle du cobordisme. Je parlerai aussi de la non effectivité de la borne.

Jeudi 22 Octobre (reporté) :
Frédéric Bihan (Chambéry) : Bornes fewnomiales pour des systèmes polynomiaux spéciaux
Résumé: On applique nos méthodes pour donner des bornes fewnomiales sur le nombre de solutions de systèmes polynomiaux non génériques pour un support donné. Les bornes obtenues raffinent grandement celles obtenues dans le cas générique. (travail en commun avec F. Sottile)

du 26 au 30 Octobre
Rencontre "Singularités réelles en analyse et géométrie".

Jeudi 26 Novembre :
Sabine Burgdorf (Konstanz-Rennes) : Le problème des moments : une version non commutative .
Résumé : L’étude des polynômes positifs en des indéterminées commutatives est associée au problème des moments. Je m’intéresse aux polynômes en des indéterminées non commutatives qui ont une trace positive. Pour ces polynômes on peut définir des moments de sorte qu’on a une relation comme dans le cas commutatif entre les moments et les polynômes avec une trace positive. Dans l’exposé j’expliquerai le problème des moments dans cette situation et je présenterai quelques résultats comparables à ceux de Curto et Fialkow dans le cas commutatif.

Jeudi 21 Janvier (avec le séminaire de géométrie analytique):
Mustafa Korkmaz (Ankara): Actions of mapping class groups.
Résumé: Mapping class group of an orientable surface is the group of isotopy classes of self homeomorphisms of the surface. This group plays a central role in low dimensional topology. Therefore, its algebraic properties are of interest. In this talk, after introducing the mapping class group and the motivation to study, I will give some known algebraic properties. Some of these properties are obtained from its action on various simplicial complexes.

Jeudi 28 Janvier :
Ilia Itenberg (Strasbourg) : Sur le spectraèdre quartique dans R³
Résumé : À trois matrices carrées symétriques A, B et C de taille 4 qui ont des coefficients réels, on peut associer une surface spectrale dans C³ (c'est l'ensemble des points (x, y, z) dans C³ tel que le déterminant de la matrice Id + xA + yB + zC est nul) et un spectraèdre dans R³ (c'est l'ensemble des points (x, y, z) dans R³ tel que la matrice Id + xA + yB + zC est semi-définie positive). En général, la surface spectrale considérée a 10 points doubles. On s'intéresse au nombre de points doubles de la surface spectrale qui appartiennent à la frontière du spectraèdre, et on montre que ce nombre n'excède pas 9.

Jeudi 4 Février :
Benoît Bertrand (Toulouse) : Sur le nombre de composantes connexes de la courbe parabolique. (en commun avec Erwan Brugallé)
Résumé : La courbe parabolique d'une surface S est le lieu où sa courbure de Gauss s'annule. Si S est le graphe d'un polynôme de degré d, l'inégalité de Harnack implique que la courbe parabolique ne peut pas avoir plus de (2d - 5)(d - 3)+1 composantes connexes. Quel est le nombre maximal de composantes que peut effectivement avoir la courbe parabolique (problème de V. Arnold 2000-1)? A. Ortiz-Rodriguez a construit des polynômes dont la courbe parabolique a (d-1)(d-2)/2 composantes connexes. J'expliquerai comment en appliquant la méthode de Viro à des courbes hessiennes on peut obtenir des courbes paraboliques ayant asymptotiquement deux fois plus de composantes connexes.

Jeudi 11 Février :
Yuriy Savchuk (Leipzig) : Non-commutative 17th Hilbert problem
Résumé : 17th Hilbert problem asks if every positive polynomial in n variables with real coefficients is a sum of squares of rational functions. One can state a noncommutative analogue of the 17th Hilbert problem, that is, replace the algebra of polynomials by a noncommutative ring. I will give an introduction to this topic and an overview over the most important results and methods.

Jeudi 4 Mars :
Mickaël Matusinski (Konstanz) : Théorème de Puiseux différentiel dans des corps de séries généralisées de rang fini.
Résumé : Soit K_r := R((Γ_r)) un corps de séries généralisées de rang fini r, muni d’une dérivation de Hardy. Etant donné un ordre de dérivation n quelconque fixé, nous considérons des équations différentielles (1) : F(y,y',...,y⁽ⁿ⁾) = 0 où F est une série formelle en n +1 variables avec des coefficients dans K_r. Notre objet est de montrer comment l’ensemble des exposants d’une solution y₀ de (1) dans K_r, i.e. son support Supp y₀, se déduit de manière finie de l’ensemble Supp F des exposants des coefficients de l’équation.

Mardi 9 Mars :

Polynômes positifs non commutatifs

(Rencontre dans le cadre du programme Franco-Slovène de coopération scientifique PROTEUS)

Salle 004

9h-9h45	Igor Klep (Ljubljana), Relaxing LMI’s noncommutatively
10h15-11h	Ronan Quarez (Rennes 1), On positivity certificates for matrix polynomials
14h-14h45	Markus Schweighofer (Konstanz), Introduction to the BMV Conjecture
15h00-15h45	Sabine Burgdorf (Konstanz-Rennes 1), TBA
16h15-17h00	Jakob Cimpric (Ljubljana), Noncommutative Positivstellensätze for pairs representation-vector

Jeudi 11 Mars :
Markus Schweighofer (Konstanz) : Pure states, positive matrix polynomials and sums of hermitian squares (joint work with Igor Klep)
Résumé : Let M be an archimedean quadratic module of real t-by-t matrix polynomials in n variables, and let S be the set of all n-tuples where each element of M is positive semidefinite. Our key finding is a natural bijection between the set of pure states of M and the cartesian product of S with the real projective (t-1)-space. This leads us to conceptual proofs of positivity certificates for matrix polynomials, including the recent seminal result of Hol and Scherer: If a symmetric matrix polynomial is positive definite on S, then it belongs to M. We also discuss what happens for non-symmetric matrix polynomials or in the absence of the archimedean assumption, and review some of the related classical results. The methods employed are both algebraic and functional analytic.

Jeudi 18 Mars :
Guillaume Valette (Kraków), Cohomologie L^∞ et homologie d'intersection
Résumé: Je donnerai un théorème de type de Rham pour les formes différentielles sur les ensembles sous-analytiques.
Jeudi 1er avril :
Goulwen Fichou : Poids dans les fonctions zeta réelles
Jeudi 27 mai :
Andrei Gabrielov (Purdue) : Approximation of definable sets by compact families.

Lundi 31 mai, 14 h. :
Andrei Gabrielov (Purdue) : Semi-monotone sets and regular cell decomposition.

Jeudi 10 juin :
Patrick Speisseger (McMaster, Hamilton) : O-minimalité et le 16ème problème de Hilbert
Résumé : Soit F la famille de tous les champs de vecteurs polynomiaux de degrée d dans le plan. Le 16ème problème de Hilbert postule l'existence d'une borne finie sur le nombre de cycles limites des champs appartenant à F. La conjecture de Roussarie réduit ce problème à une version locale dans l'espace des paramètres. Dans un travail récent avec Kaiser et Rolin, nous utilisons l'o-minimalité pour établir la conjecture de Roussarie dans un cas très particulier, celui d'une famille analytique ne possédant que des singularités hyperboliques non-résonnantes. Nous espérons étendre notre approche à un cas générique, celui d'une famille analytique ne possédant que des singularités hyperboliques. Un ingrédient de notre approche est la réduction aux croisements normaux dans une classe quasi-analytique et logarithmique - exponentielle de fonctions en plusieures variables.

Jeudi 17 juin :
Michel Raibaut (Nice) : Une fibre de Milnor motivique à l'infini
Résumé : Soit U une variété algébrique complexe lisse et f un morphisme non constant défini sur U. Par application du théorème de Thom-Mather, il existe un réel R > 0 tel que f : U- f^-1(D(0,R)) --> C - D(0,R) est une fibration topologique localement triviale. La fibre de cette fibration est appellée fibre de Milnor à l'infini. Ses groupes de cohomologie à support compact sont munis d'une "structure de Hodge mixte limite à l'infini". Un invariant classique associé est le "spectre à l'infini" de f.

Mardi 22 juin, 10 h.30 :
Saugata Basu (Purdue) : A complex analogue of Toda's theorem.
Résumé : Toda's theorem in discrete complexity theory relates the computational hardness of counting with the polynomial time hierarchy. A real analogue of Toda's theorem in the Blum-shub-Smale model has recently being proved. In this talk I will describe a complex analogue of the same result. I will also sketch how one might expect to prove the original theorem of Toda's using topological methods.

Jeudi 24 juin :
Ludovico Pernazza (Pavia) : Sur la régularité des racines de polynômes dépendant d'un paramètre
Résumé : En général il y a plusieurs choix possibles de systèmes de racines pour un polynôme dont les coefficients dépendent d'un paramètre. On peut montrer que si toutes les racines sont réelles, la multiplicité des racines est au plus k et les coefficients sont de classe C^2k, il y a des systèmes de racines de classe C¹ admettant partout une dérivée seconde. Le résultat peut être amélioré si l'on veut trouver une bonne racine carrée d'une fonction non négative ; il est aussi intéressant de rapporter ces résultats au cas des polynômes admettant des racines non réelles.

2008-2009

Jeudi 11 Septembre :
Tim Netzer (Constance) : Positive polynomials on large subsets of Rⁿ.
Résumé : In Real Algebraic Geometry, the notion of a "stable" quadratic module has turned out to be very usefull in several contexts - for example it allows to apply model theoretic arguments and helps settling the Moment Problem. The core of all the previous efforts concerning stable quadratic modules is the following:
Let K be a subset of Rⁿ. When adding two real polynomials f and g that are nonnegative on K, cancelling of high degree parts may result in a polynomial f+g of much smaller degree than the one of f and g. But can there be arbitrary grave cancelling?
This question seems to be hard to decide in general. However, the answer can only be "no" for large sets - a necessary condition for the impossibility of grave cancelling is the absence of nontrivial bounded polynomials. In this talk, we discuss to which extend this condition is already sufficient.

Jeudi 18 Septembre :
Daniel Plaumann (Constance) : Sums of squares on reducible real curves.
Résumé : We ask whether every polynomial function that is non-negative on a real algebraic curve can be expressed as a sum of squares in the coordinate ring. Scheiderer has classiﬁed all irreducible curves for which this is the case. For reducible curves, we show how the answer depends on the conﬁguration of the irreducible components and give complete necessary and sufficient conditions. We also discuss partial results in the more general case of ﬁnitely generated preorderings and applications to the moment problem for semialgebraic sets.

Jeudi 25 Septembre :
Michel Coste : Diamètre géodésique d'intersection de quadriques (travail de Moussa Seydou)
Résumé : Les majorations connues pour le diamètre géodésiques (d'Acunto - Kurdyka) sont exponentielles en le nombre de variables. Je présenterai le travail de Moussa Seydou qui établit une borne polynomiale en le nombre de variables, pour une intersection d'un nombre donné de quadriques, dans le style du résultat obtenu par A. Barvinok pour la somme des nombres de Betti.

Jeudi 30 Octobre :
Mohammed Bekkar (Oran) : Surfaces minimales dans les espaces de Heisenberg.

Jeudi 13 Novembre : Ilia Itenberg (Strasbourg) : Sur le nombre de composantes connexes d'une intersection complète de quadriques réelles
Résumé : Les résultats principaux de l'exposé portent sur les intersections complètes de trois quadriques réelles. On s'intéresse au nombre maximal B⁰₂(N) de composantes connexes qu'une intersection complète régulière de trois quadriques réelles dans P^N peut avoir. On montre que le nombre B⁰₂(N) diffère au plus de 1 du nombre maximal d'ovales de profondeur [(N-1)/2] d'une courbe algébrique réelle plane et projective de degré N+1. Comme conséquence, on obtient une borne inférieure N²/4 + O(N) et une borne supérieure 3 N²/8 + O(N) pour le nombre B⁰₂(N). Travail en commun avec A. Degtyarev et V. Kharlamov.

Jeudi 27 Novembre : Markus Schweighofer : Ensembles semi-algébriques convexes, inégalités matricielles linéaires et sommes de carrés
Résumé : Pour traiter les systèmes d'inégalités linéaires, on dispose des méthodes numériques extrêmement efficaces comme l'optimisation linéaire. Mais ces systèmes ne permettent que d'écrire des polyèdres. Les inégalités matricielles linéaires (LMI) sont une généralisation des systèmes d'inégalités linéaires. Tout en admettant presque autant de possibilités algorithmiques, ils ont une expressivité très surprenante dont témoignent des résultats récénts de Helton, Nie et Vinnikov. La seule condition nécessaire connue en ce moment pour un ensemble d'être défini par un LMI avec ou sans variables additionnelles est d'être respectivement semi-algébrique convexe ou rigidement convexe. Il semble même possible que ces conditions sont déjà suffisantes. Il y a un lien surprenant avec le sujet très classique de l'écriture des polynômes positifs à l'aide de sommes de carrés. Cet exposé est une introduction au sujet avec des nouvelles contributions récemment obtenues en collaboration avec Tim Netzer et Daniel Plaumann.

Jeudi 4 Décembre : Jean-Philippe Monnier (Angers) : Diviseurs tres speciaux sur les courbes reelles.
Résumé: On étudie les systèmes linéaires spéciaux sur une courbe réelle dont les dimensions ne vont pas satisfaire une inégalité donnée par Huisman. En particulier, on classifie tous ces systèmes linéaires lorsqu ils sont non-simples.

Mercredi 17 Décembre, 14h. : Georges Comte (Nice) : Propriétés locales des ensembles définissables p-adiques.
Résumé : Je parlerai d'un travail en cours en commun avec R. Cluckers et F. Loeser dans lequel nous étudions les propriétés métriques locales des ensembles semi-algébriques ou sous-analytiques p-adiques. Pour ces ensembles on peut, comme en réel, définir la densité locale en chacun de leurs points. Celle-ci peut alors se calculer de différentes façons, soit par une formule du type Crofton locale, soit par une formule du type de celle établie par Thie pour les ensembles analytiques complexes, c'est-à-dire à l'aide du cône tangent. Cette dernière formule nécessite une définition appropriée du cône tangent en p-adique.

Jeudi 8 Janvier : Erwan Brugallé (Paris 6) : Utilisation des modifications tropicales.

Jeudi 22 Janvier : Adam Parusinski (Angers) : Filtration par le poids pour les variétés algébriques réelles
Résumé : Pour toute variété algébrique réelle nous construisons une filtration géométrique fonctorielle sur les chaînes semi-algébriques fermées. La suite spectrale associée induit une filtration sur l'homologie de Borel-Moore à coefficients dans Z/2Z, qu'on appelle filtration par les poids. La filtration par les poids peut aussi être obtenue par la résolution des singularités et une construction abstraite dû à Guillen et Navarro-Aznar, une approche similaire donne dans le cas complexe la filtration par le poids de Deligne.
Dans cet exposé nous présentons les propriétés basiques de la suite spectrale et de la filtration par les poids, et donnons quelques applications. Nous discutons aussi la relation avec la théorie des formes quadratiques.

Jeudi 5 Février : Frédéric Mangolte (Chambéry) : Une généralisation au cas singulier d'un théorème de Comessatti sur les surfaces rationnelles réelles
Séminaire reporté pour cause de grève des enseignants-chercheurs
Résumé: Soit X une surface géométriquement rationnelle définie sur R et M une composante connexe de X(R). D'après un théorème célèbre de Comessatti, si X est non-singulière et M orientable, alors M est une sphère ou un tore. Avec F. Catanese, nous avons montré que si X admet des singularités Du Val et M est l'espace total d'un orbifold orientable, alors M est sphérique ou euclidien. Mais le cas non-orientable réservait une surprise : en effet lorsque X est minimale et non-singulière, M ne peut pas être de type hyperbolique. Nous avons construit un exemple singulier où X est minimale et M est de type hyperbolique. Ces résultats ont notamment des applications à la classification des variétés réelles de dimension 3 qui sont rationnellement connexes.

Jeudi 26 Mars: Daniel Pecker (IMJ, Paris 6) : Nœuds de Chebyshev

Vendredi 3 Avril: Johannes Nicaise (Lille) : Titre à préciser. Cet exposé fait suite à un exposé de Julien Sebag au séminaire de géométrie algébrique.

Mercredi 8 avril, 14h. : Patrick Popescu-Pampu (Paris 7) : Topologie des fibres de Milnor des quotients cycliques de surfaces
Résumé: Etant donné un germe de surface complexe a singularité isolée, son bord est une variéte compacte de dimension 3 portant une orientation et une structure de contact canoniques. La theorie des déformations de la singularité fournit un nombre fini, a difféomorphismes près, de remplissages de Stein de ce bord de contact, les fibres de Milnor de la singularité. C'est un probleme tres largement ouvert de décrire ces fibres de Milnor parmi les remplissages de ce bord de contact. Je décrirai la preuve d'une conjecture de Lisca, obtenue en collaboration avec Nemethi, qui montre que pour les singularités quotients cycliques (dont les bords sont des espaces lenticulaires), les fibres de Milnor fournissent a difféomorphisme près tous les remplissages de Stein. .

Jeudi 23 Avril: Karim Becher (Konstanz) :Sommes de carrés dans le corps des fonctions d'une courbe
Résumé: Le nombre de Pythagore d'un corps K est le plus petit entier n tel que tout élément totalement positif de K s'exprime comme une somme de n carrés dans K. Je donnerai d'abord un survol sur les bornes connues et les problèmes ouverts liés à cet invariant de corps. Ensuite, j'expliquerai des résultats d'un travail en commun avec David Grimm et Jan Van Geel, qui concernent le cas d'un corps des fonctions en une variable sur un corps valué complet k. En particulier, on obtient que le nombre de Pythagore d'un tel corps de fonctions est inférieur ou égal à 3 dans le cas où k = R((t)). A la base de ces résultats est un nouveau principe local-global pour les formes quadratiques sur de tels corps, qui a été developpé par Harbater, Hartmann et Krashen et par Colliot-Thélène, Parimala et Suresh.

Jeudi 14 Mai 9h.: Ilia Itenberg (Strasbourg) : Invariants de Welschinger et congruences modulo 4
Résumé : Les invariants de Welschinger sont des analogues réels d'invariants de Gromov-Witten de genre zéro. L'approche tropicale basée sur le théorème de correspondance de G. Mikhalkin permet de calculer les invariants de Welschinger dans un certain nombre de cas. En particulier, G. Mikhalkin a démontré des congruences modulo 4 pour les invariants de Welschinger des surfaces toriques de Del Pezzo.
En utilisant l'approche tropicale, on établit des congruences modulo 4 pour les invariants de Welschinger du plan projectif éclaté en 4 ou 5 points réels (travail en commun avec V. Kharlamov et E. Shustin)
Jeudi 14 Mai 14h.: Johannes Huisman (Brest) : Espaces de modules de fibrés vectoriels stables sur une courbe algébrique réelle
Résumé: Soit X une courbe algébrique réelle lisse et projective. D'après Mumford, l'espace des modules M_r,d des fibrés vectoriels stables sur X de rang r et de degré d est une variété algébrique réelle quasi-projective. Elle est projective lorsque r et d sont premiers entre eux. Nous déterminons quelques invariants topologiques de l'ensemble des points réls de M_r,d tels que les π₀, π₁ et π₂. Pour ce faire on adapte des techniques de Narasimhan-Seshadri et de Atiyah-Bott, et on étudie des représentations unitaires du groupe fondamental équivariant de X, et des connexions équivariantes plates à travers la fonctionnelle de Yang-Mills. (Travail en collaboration avec Indranil Biswas et Jacques Hurtubise.)

Jeudi 4 Juin : Karim Bekka : Rayon uniforme et conditions de régularités.
Résumé : Pour montrer qu'une famille de germes de fonctions ou d'applications a le même type topologique, on utilise la stratification canonique induite par cette famille et on étudie sa régularité, en particulier "la propriété de rayon uniforme'' qui assure la constance du type topologique. Je parlerai dans cet exposé de certaines relations entre nombre de Milnor, rayon uniforme et conditions de Whitney.

Mercredi 10 Juin (14h) : Toshizumi Fukui (Saitama) : Lipschitz property of blow-analytic maps

Jeudi 18 Juin (14h) :Abdelhafed Elkhadiri (Univ. Ibn Tofail, Kenitra) : Sur un anneau noethérien de germes différentiables sur un corps réel clos
Résumé: Soit R un corps réel clos. On désigne par E_R,n l'anneau des germes de fonctions infiniment différentiables au voisinage de l'origine dans Rⁿ. Pour tout entier naturel n, nous construisons un sous-anneau A_R,n de E_R,n avec quelques propriétés naturelles. Nous démontrons que A_R,n est un anneau noethérien et que, si R = R (le corps des réels), alors A_R,n est l'anneau des germes de fonctions analytiques réelles. Enfin nous prouvons le théorème des zéros réels et le 17e problème de Hilbert pour l'anneau A_R,n.

Année 2007-2008

Jeudi 20 Septembre
Dmitry Novikov (Weizmann Institute of Science) : Limit cycles appearing in polynomial perturbations of Darboux integrable systems.
Résumé : We prove an existential finiteness result for integrals of rational one-forms over the level-curves of Darbouxian integrals

Jeudi 4 Octobre
Johannes Huisman (Brest) : Surfaces rationnelles réelles et difféomorphismes algébriques.

Mercredi 17 Octobre
Frédéric Mangolte (Chambéry) : Modèles algébriques réels des variétés de dimensions 3
Résumé : En partant de l'énoncé du théorème de Comessatti de 1914 sur le type topologique d'une surface rationnelle réelle, nous chercherons à expliquer certaines motivations des recherches récentes (1999, 2005, 2007) sur la topologie des variétés réelles projectives de dimension 3

Jeudi 25 Octobre
Jean-Jacques Risler (Paris 6) : Déformations de Harnack d'une branche plane réelle. Résumé : Apres une présentation des résultats de Mikhalkin sur les courbes (algébriques) de Harnack, on définira les déformations "Multi-Harnack " d'une branche analytique réelle plane singulière afin de généraliser pour celles-ci le résultat de Mikhalkin. On évoquera aussi quelques propriétés métriques de ces déformations : taille des ovales, concentration de la courbure. Le travail présenté est réalisé en commun avec Pedro Gonzales Peres.

Jeudi 10 Janvier
Xavier Caruso : Extensions totalement réelles. Application à la diagonalisation des matrices symétriques.
Résumé : Après avoir défini (ou rappelé la définition de) la notion d'extension totalement réelle d'un corps quelconque, et après l'avoir illustré par plusieurs exemples, j'expliquerai comment elle intervient de façon centrale dans un théorème de Krakowski qui classifie les corps sur lesquels toute matrice symétrique est diagonalisable. Je donnerai aussi quelques indications sur la façon dont ce résultat pourrait s'étendre à un anneau (voire un schéma) quelconque. L'exposé apparaîtra essentiellement comme un survol de résultats de la deuxième moitié du 20ème siècle.

Jeudi 17 Janvier
Ilia Itenberg (Strasbourg) : Equivalence logarithmique d'invariants de Welschinger et d'invariants de Gromov-Witten.
Résumé : Les invariants de Welschinger sont des analogues réels d'invariants de Gromov-Witten de genre zéro. L'approche tropicale basée sur le théorème de correspondance de G. Mikhalkin permet de calculer les invariants de Welschinger dans plusieurs situations. Dans l'exposé, on établira une équivalence logarithmique d'invariants de Welschinger et d'invariants de Gromov-Witten dans le cas des collections génériques de points réels dans un plan projectif eclaté en 4 points réels. La démonstration est basée sur une nouvelle version du théorème de correspondance.

Jeudi 31 Janvier
Erwan Brugallé (Paris) : Décompositions en étages de courbes tropicales
Résumé : Le but de cet exposé est de d'appliquer la géométrie tropicale en géométrie énumérative réelle et complexe. Le problème est de calculer le nombre de courbes rationnelles projectives passant par une configuration de sous espace linéaires fixés (appelés contraintes). Une technique standard en géometrie complexe est de dégénérer la configuration des contraintes de telle sorte que les courbes considérées se "cassent" en des courbes plus simples, puis d'appliquer l'invariance du nombre de courbe par rapport à la configuration. En utilisant une configuration des contraintes "à la Caporaso-Harris" dans le contexte tropical, on observe, sans passage à la limite, la décomposition des courbes en morceaux simple. De plus, ces décompositions permettent d'obtenir des résultats sur le nombre de courbes réelles passant par une configuration réelle de contraintes. (travail en collaboration avec Grigory Mikhalkin)

Jeudi 7 Février
Giovanni Morando (Padova) : Site sous-analytique et solutions tempérées des D-modules sur une courbe complexe
Résumé : Dans cet exposé on rappellera la définition de site sous-analytique et du faisceau sous-analytique des fonctions holomorphes tempérées. En suite, on utilisera ces objets dans l'étude des D-modules sur une courbe complexe. En particulier, on étudiera la propriété de R-constructibilité pour le complexe des faisceaux sous-analytiques des solutions tempérées d'un D-module sur une courbe complexe. Ensuite, etant donnée une équation différentielle linéaire ordinaire, on décrira ses invariants classiques (fournis par la décomposition formelle et les matrices de Stokes) à travers ses solutions tempérées.

Jeudi 6 Mars
Vincent Grandjean : How small is the singular set of a tame set: sur la dimension des fibres génériques de l'espace conormal éclaté.
Résumé : Lé et Teissier ont montré il y a plus de vingt ans dans le monde analytique complexe que les conditions de Whitney le long d'une strate analytique Y d'un espace analytique equidimensionnel X etaient equivalentes à la constance de la dimension des fibres au dessus de Y de l'éclaté (le long de Y) de l'espace conormal C(X) de X. Dans le monde réel une condition de ce type le long d'une petite strate n'assure en rien que les conditions de Whitney sont satisfaites. En fait les fibres de l'espace conormal C(W) d'un ensemble sous-analytique W au dessus d'un point w du lieu singulier Sing(W) sont très mal connues. On a juste une borne supérieure sur la dimension: dim (W,w) -1. En etudiant l'eclate de C(W) de centre w, on peut décrire un peu la fibre conormale pour des w génériques dans Sing(W). Ce faisant quand W \ sing(W) est équidimensionnel on récupère des informations sur la fibre de Nash de W au-dessus des points singuliers et on déduit une relation entre le rang local r(w) de l'application de Gauss en un w singulier générique et la dimension de sing(W) en w, c'est-à-dire, r(w) + dim (sing(W),w) >= dim W -1. Ainsi une variete lisse sous-analytique avec application de Gauss dégénérée a un bord qui doit avoir une dimension minimale.

Jeudi 13 Mars
Raf Cluckers (Leuven/Paris) : b-minimalité
(un premier exposé "Intégration motivique et b-minimalité a lieu à 10h30)
Résumé : (1er exposé 10h30) Dans une introduction élémentaire, j'expliquerai l'histoire et la signification de l'intégration motivique. Dans une deuxième partie de l'exposé, j'expliquerai une nouvelle notion de géométrie modérée, la b-minimalité, et en quoi elle est prometteuse dans le domaine de l'intégration motivique. Je supposerai très peu de prérequis.
(2nd exposé 14h) Je donne la définition plus technique de la b-minimalité (dans l'exposé 1 je donne une définition plus intuitive en omettant quelques détails). Je développe sa théorie et la compare avec celle de la o-minimalité. Finalement, je reviens sur l'intégration motivique dans les cadres b-minimaux, surtout orientée vers une interpolation des intégrales générales p-adiques et Fp((t))-adiques. Ceci est la première version générale de l'intégration motivique qui fonctionne aussi en caractéristique mixte pour des petits p et pour une ramification arbitraire.

Jeudi 27 Mars
David Burguet (Ecole Polytechnique) : Lemme algébrique de Yomdin-Gromov et applications dynamiques
Résumé : La théorie de Yomdin permet de comprendre de nombreux aspects dynamiques des applications de classe C^r. Cette theorie s'appuie sur un lemme de reparamétrisation d'ensembles semi-algébriques (dont la forme est due a Gromov) qui affirme que "la complexité différentielle d'un ensemble algébrique est bornée par sa complexité algébrique". Nous présenterons les grandes lignes de la preuve de ce lemme algébrique et nous en déduirons suivant Gromov, Yomdin et Buzzi certaines propriétés dynamiques des applications C^r.

Jeudi 10 Avril
Vladimir Kostov (Nice) : Sur la composition de Schur-Szegö de polynômes à une variable
Résumé : La composition de Schur-Szegö (CSS) de deux polynômes de degré n $\sum _{j=0}^na_jx^j$ et $\sum _{j=0}^nb_jx^j$ à une variable est définie par la formule $\sum _{j=0}^n(a_jb_j/C_n^j)x^j$ . Chaque polynôme P de degré n ayant une de ses racines en -1 se présente de façon unique comme la CSS de n-1 polynômes de la forme (x+1)^n-1(x+a_i), i=1,...,n-1. Si P est réel et k, l designent les nombres de couples conjugués respectivement parmi les racines de P et parmi les nombres a_i, alors tous les couples (k,l) sont réalisables, $0\leq k,l\leq [(n-1)/2]$ . Les limites (pour $n\rightarrow \infty$ ) des vecteurs propres de l'application "coefficients de P" $\mapsto$ "valeurs des polynômes symétriques élémentaires des nombres a_i" sont définies par les polynômes de Narayana $\sum _{k=1}^mN_{m,k}x^k$ où $N_{m,k}=(1/m)C_m^kC_m^{k-1}$ sont les nombres de Narayana dont on rappellera l'importance combinatoire.

Jeudi 17 Avril
Adam Parusiński (Angers) : Filtration sur l'homologie des variétés algébriques réelles
Résumé : Soit X une variété algébrique réelle. En utilisant la construction abstraite due à Guillen et Navarro-Aznar on définit une suite spectrale E^*_{_*,_*} qui tend vers l'homologie (de Borel-Moore) de X à coefficients dans Z/2Z. Dans le cas complexe une construction analogue pour l'homologie à coefficients dans Q définit la filtration par le poids de Deligne. Dans cet exposé on définit géométriquement une filtration fonctorielle A_pC_{_*}(X) sur les chaînes semi-algébriques. Le complexe filtré A_pC_{_*}(X) représente le foncteur de Guillen et Navarro-Aznar (qui n'est défini que dans une catégorie localisée des complexes filtrés) et par conséquent donne la suite spéctrale. La filtration A_pC_{_*}(X) mesure, par définition, la "distance" d'une chaîne aux chaînes symétriques par arcs. Par exemple, les homologies "pures" coïncident avec celles représentés par les chaînes arc-symétriques.

Jeudi 22 Mai
Dmitri Grigoriev : Stratifications de Thom-Whitney a-régulières universelles et théorème de type Sard pour des variétés singulieres.
Résumé : On dit qu'une stratification est universelle si tous ses strates apparaissent dans n'importe quelle stratification. On démontre qu'une stratification de Thom-Whitney a-régulière universelle d'une application polynomiale existe si et seulement si le sous-faisceau d'espaces vectoriels du faisceau cotangent associé à l'application est lagrangien. La démonstration utilise une version d'un théorème de type Sard pour des variétés singulières. Par ailleurs, un exemple d'application est donné qui n'admet aucune stratification universelle. Les résultats sont communs avec P. Milman.

Vendredi 27 Juin
Toshizumi Fukui (Saitama) : Isolated singularities of degree n binary differential equations.
Résumé : We study isolated singularities of binary differential equations of degree n which are totally real. This means that at any regular point, the associated algebraic equation of degree n has exactly n different real roots (this generalizes the so called positive quadratic differential forms when n = 2). We introduce the concept of index for isolated singularities and generalize Poincaré-Hopf theorem and Bendixon formula. Moreover, we give a classification of phase portraits of the n-web around a generic singular point. We show that there are only three types, which generalize the Darbouxian classification of umbilics. We also mention polygonal property of the subject. This is a joint work with Juan J Nuno Ballesteros.

Année 2006-2007

Jeudi 28 Septembre
Soutenance de la thèse de Valéry Mahé : Calculs dans les jacobiennes de courbes algébriques, applications en géométrie algébrique réelle.

Jeudi 19 Octobre
Daniel Panazzolo (Sao Paulo - Rennes) : Cycles limites pour les équations de Liénard : comptage de solutions de l'équation

(...(x^r¹ + a₁)^r2 + ...)^rn + a_n= x .

Résumé : Nous allons discuter le problème de comptage des cycles limites pour l'équation de Liénard classique x' = y - P(x) , y' = -x , où P(x) est un polynôme en x. Une compactificaztion convenable de l'espace de tous les systèmes de Liénard nous amène à considérer l'équation du titre

Jeudi 26 Octobre
Nicolas Puignau (Lyon) : Invariant de Welschinger et orientation relative
Résumé : Nous aborderons les récents développements en géométrie énumérative réelle.
Combien de courbes algébriques de genre 0 passent par une collection quelconque de points dans le plan P² ?
Une approche actuelle consiste à construire des espaces de modules spécifiques et répondre à cette question par un calcul (co)homologique suivant Kontsevich (en complexe) puis Welschinger (en réel).
Dans le cadre réel il est nécessaire de prendre en compte l'orientation de ces espaces et c'est ce point qui sera traité dans la détermination de certaines classes caractéristiques.

Jeudi 9 Novembre
Mounir Nisse (Jussieu) : L'aire des amibes des courbes dans (C*)²
Résumé : A toute courbe algébrique dans $(\mathbb{C}^*)^2$ est associé son amibe $\mathcal{A}_V$ . On sait que le squelette $\Gamma_V$ de $\mathcal{A}_V$ est une courbe tropicale duale d'une subdivision $\tau_V$ du polygone de Newton $\Delta_f$ du polynome définissant la courbe et que l'aire de $\mathcal{A}_V$ est finie. Le sujet de l'exposé est de montrer que l'aire de l'amibe $\mathcal{A}_V$ est bornée par $\dfrac{\pi^2}{\nu_A (\Gamma_V )^2}\,\mbox{aire} (\Delta_f)$ , où $\nu_A (\Gamma_V )$ est une constante qui ne dépend que du support de et de la courbe tropicale $\Gamma_V$ . On montre aussi que cette borne est atteinte si et seulement si l'application logarithmique est au plus $2\,\nu_A (\Gamma_V)$ -to- et le polynôme définissant cette courbe est réel à une constante multiplicative prés.

Jeudi 16 Novembre
Ilia Itenberg (Strasbourg) : Invariants de Welschinger des surfaces toriques de Del Pezzo munies de structures réelles non standards
Résumé : Les invariants de Welschinger sont des analogues réels d'invariants de Gromov-Witten de genre zéro. L'approche tropicale basée sur le théorème de correspondance de G. Mikhalkin permet de calculer les invariants de Welschinger dans plusieurs situations, et en particulier, dans le cas des surfaces toriques de Del Pezzo munies de leurs structures réelles standards (c'est-à-dire, naturellement compatibles avec la structure torique). Dans l'exposé, on parlera d'une formule tropicale pour les invariants de Welschinger de surfaces toriques de Del Pezzo munies de structures réelles non standards. Cette formule produit des nouveaux résultats concernant le dénombrement de courbes rationnelles réelles sur les surfaces en question. (Travail en commun avec V. Kharlamov et E. Shustin.)

Jeudi 7 Décembre
Vincent Florens (Genève) : Polynômes d'Alexander de courbes algebriques planes
Résumé : On considere la notion de polynôme d'Alexander d'une courbe algébrique plane, tordu par une représentation linéaire. On montre qu'il divise le produit des polynômes des entrelacs associés aux singularités de la courbe et que
le quotient est donné par une certaine forme d'intersection. Ce resultat étend un théorème de Libgober, et en donne une interpretation géometrique.
On montre, à travers des exemples, que ces invariants détectent certaines paires de Zariski dont les polynômes d'Alexander classiques coincident. Ils sont aussi sensibles aux dégénérations nodales.

Jeudi 14 Décembre
Adam Parusinski (Angers) : L'equivalence blow-analytique des germes de fonctions analytiques de 2 variables reelles.
Résumé : D'apres Kuo deux germes f,g : Rⁿ -> R sont blow-analytiquement équivalents (b-a équivalents) si ils deviennent analytiquement équivalents apres des modifications réelles des espaces sources. Dans ce travail en collaboration avec Satoshi Koike on considère que le cas n = 2. On montre que 2 tels germes sont b-a équivalents si et seulement si leurs résolutions minimales sont isomorphes. Ainsi on obtient une classification complète en termes des graphes de résolutions ou bien des modèles d'arbre. Ensuite on montre que 2 germes C¹-équivalents sont b-a équivalents. On donne un exemple de 2 germes équivalents par un homéomorphisme bi-lipschitzien qui ne sont pas b-a équivalents.

Jeudi 21 Décembre
David Trotman (Marseille) : Equisingularité de sections, condition (t^r), et la clôture intégrale des modules
Résumé: On utilise la théorie de la clôture intégrale des modules pour étudier les sections de variétés analytiques réelles ou complexes. Les conditions d'équisingularité utilisées sont les conditions (t^r) introduites par Thom et étudiées par moi-même. Je détaillerai les raffinements récents développés avec T.-C. Kuo et L. Wilson et les conséquences pour la théorie de suffisance des jets d'applications réelles. Des nouveaux résultats, obtenus avec T. Gaffney et L. Wilson, incluent une nouvelle preuve simple du théorème (de Kuo-Trotman-Wilson) décrivant le comportement des conditions (t^r) sous une modification de Grassmann, et une caractérisation des conditions (t^r) utilisant la multiplicité d'un sous-module du module Jacobien de la singularité. Ceci donne des critères numériques pour l'équisingularité de Verdier.

Jeudi 25 Janvier
Frédéric Bihan (Chambéry) : Nouvelles bornes fewnomiales.
Résumé: La règle de Descartes implique qu'un polynôme réel en une variable avec m+1 monomes distincts possède au plus 2m racines réelles. En particulier, si le degré d'un tel polynôme est grand par rapport au nombre de monômes, peu de racines complexes sont en fait réelles. En 1980 Khovansky a montré qu'un tel phénomène n'était pas propre aux polynômes en une variable. Il a en particulier proposé une borne sur le nombre de solutions réelles d'un système de n équations polynomiales en n variables qui ne dépend que du nombre total de monômes distincts. Néanmoins, cette borne parait extrêmement grande. Dans cette exposé, on présentera de nouvelles bornes fewnomiales obtenues très récemment avec Frank Sottile. Ces bornes améliorent considérablement celles de Khovansky et sont asymptotiquement optimales en un certain sens.

Jeudi 15 Février
Didier D'Acunto (Genève) : Structure géométrique des talwegs (ou extrémales de gradient)
Résumé : On montre que les ensembles extrémaux du gradient d'une fonction générique lisse sont lisses en dehors des points critiques de la fonction. Aux points critiques, les branches lisses des ensembles extrémaux sont tangentes aux espaces propres du hessien. De plus, la fonction est de Morse sur son ensemble extrémal. S'il reste du temps, on montrera également que le talweg est transverse a presque tous les niveaux de la fonction. Ce dernier résultat permet de conclure sur la finitude de la longueur des trajectoires de gradient d'une fonction lisse générique.

Vendredi 16 Février, 10h.30 (en commun avec le Séminaire de Calcul Formel)
Saugata Basu (Georgia Tech.) : Combinatorial Complexity in O-minimal Geometry
Abstract: In this talk I will state some tight bounds on the combinatorial and topological complexity of sets defined in terms of n definable sets belonging to some fixed definable family of sets in an o-minimal structure. This generalizes the combinatorial parts of similar bounds known in the case of semi-algebraic and semi-Pfaffian sets, and as a result increases the applicability of results on combinatorial and topological complexity of arrangements studied in discrete and computational geometry. As a sample application, we extend a Ramsey-type theorem due to Alon et al., originally proved for semi-algebraic sets of fixed description complexity to this more general setting.

Jeudi 1er Mars
Erwan Brugallé (Paris 6) : Surfaces algébriques réelles avec beaucoup de points doubles isolés.
Résumé : Combien de points doubles (singularités A₁) peut avoir une surface algébrique complexe de degré d? D'après Miyaoka, ce nombre est asymptotiquement borné par 4/9 * d³, et Chmutov construisit des surfaces de degré d avec 5/12 * d³ points doubles. Pour une surface algébrique réelle, on peut donner une meilleure borne sur le nombre de points doubles isolés : 5/12 * d³. Savoir si ces deux bornes supérieures (complexes et réelles) sont optimales est toujours un problème ouvert. Le but de cet exposé est d'expliquer la méthode de construction de Chmutov, et d'expliquer comment l'adapter pour construire des surfaces algébriques réelles avec 1/4 * d³ points doubles isolés. J'expliquerai aussi pourquoi cette méthode ne peut donner de meilleur résultat. Ce travail est en commun avec Oliver Labs.

Jeudi 8 Mars
Goulwen Fichou : Classification des singularités simples au sens de l'équivalence de Nash après éclatements.
Résume: L'équivalence de Nash après éclatements est un analogue semi-algébrique et analytique de l'équivalence analytique après éclatements de T.C. Kuo. On sait que le corang et l'indice d'un germe de fonctions Nash sont invariants au sens de cette équivalence. On montre ici que des germes simples sont équivalents si et seulement s'ils le sont au sens de l'équivalence analytique.

Jeudi 22 Mars
Markus Schweighofer (Konstanz) : Polynômes positifs en variables non commutatives et problème de plongement d'Alain Connes.

Jeudi 29 Mars
Guillaume Rond (Toulouse) : Régularité des morphismes d'algèbres locales.
Résumé : Je vais parler de résultats de régularité des morphismes d'algèbres locales, en particulier d'algèbres analytiques et formelles sur C (dus a Gabrielov, Izumi et Tougeron entre autres). Nous allons montrer comment un résultat de Eakin et Harris sur la monomialisation de tels morphismes permet d'aborder ces problèmes et de généraliser certains de ces résultats à des algèbres locales sur des corps autres que le corps des nombres complexes.

Jeudi 5 Avril
Benoît Bertrand (Genève) : Nombres caractéristiques de Zeuthen réels pour deux droites.
Résumé : Le nombre de courbes algébriques complexes nonsingulières de degré d passant par d(d+3)/2 - t points et tangentes à t droites est (2(d-1))^t (si la configuration est générique et t < 2d -1). F. Ronga a montré que pour une droite (t=1) le probleme réel correspondant était maximal: il existe une configuration générique de points et d'une droite réels tel que 2(d-1) courbes réelles de degré d passent par les points et soient tangentes à la droite. En utilisant la géométrie tropicale on montre la maximalité de ce problème énumératif réel pour deux droites (t = 2).

Jeudi 19 Avril
Guillaume Valette (Toronto) : Sur le type métrique des ensembles semi-algébriques.
Résumé: Etant donné un ensemble semi-algébrique, il est possible de construire une triangulation renfermant la totalité de son type métrique. Ceci implique notamment un version bi-Lipschitz du théorème de Hardt. Je donnerai aussi d'autres conséquences de l'existence de ces triangulations pour l'étude métrique des singularités en géométrie semi-algébrique et o-minimale.

Jeudi 26 Avril
Masahiro Shiota (Nagoya - Rennes) : G-manifolds and triangulations.
Résumé: Let G be a compact Lie group.and M an analytic G-manifold. Then the orbit space M/G is Hausdorff. Let p : M -> M/G denote the canonical map. Then
Theorem (with Murayama): There exists polyhedra P and Q, a subanalytic homeomorphism u : M -> P and a homeomorphism v : M/G -> Q s.t. v p u ^-1 : P -> Q is PL.
This is known in the case of finite G.

Mercredi 2 Mai
Vincent Grandjean (Oldenburg) : Valeurs critiques asymptotiques et courbure totale.
Résumé: Etant donnée une fonction définissable dans une structure o-minimale fixée a priori et suffisamment différentiable, je vais essayer de montrer quelles sont les relations entre l'existence de valeurs critiques asymptotiques et la continuite des fonctions coubure totale et coubure totale absolue au voisinage de cette valeur critique asymptotique. Dans des cas simples, je donnerai un critère suffisant d'équisingularité (à l'infini), au voisinage d'une valeur régulière, exprimé par des conditions sur ces fonctions courbures totales. Si j'ai encore un peu de temps, je donnerai des conditions nécessaires et suffisantes d'équisingularité à l'infini pour les fonctions à bouts coniques definies dans l'espace, qui sont similaires aux résultats plans de Tibar-Zaharia et Coste-de la Puente.

Mercredi 16 Mai, 10h30
Masahiro Shiota (Nagoya - Rennes) : Equivalence relations of maps.
Résumé : An equivalence relation on the family of $C^\infty$ map germs is maturally defined by local $C^\infty$ diffeomorphisms of the domain of definition and of the target space. There are two kind of equivalence relations of analytic map germs - by local $C^\infty$ diffeomorphisms or by local analytic diffeomorphisms. First theorem says that they are different. In case of Nash map germs there are 3 equivalence relations - by local $C^\infty$ , analytic or Nash diffeomorphisms. Second theorem: they are the same. Third theorem treats the global map case.

Jeudi 24 Mai
Ilia Itenberg (Strasbourg) : Sur la réalité totale des fonctions méromorphes (travail en commun avec A. Degtyarev, T. Ekedahl, B. Shapiro et M. Shapiro).
Résumé: On montre que si tous les points critiques d'une fonction méromorphe de degré au plus quatre sur une courbe algébrique réelle de genre arbitraire sont réels, alors cette fonction est essentiellement réelle.

Jeudi 31 Mai
Georges Comte (Nice) : Discriminants et invariants de courbure en géométrie réelle.
Résumé : Soit X un ensemble sous-analytique compact de Rⁿ, muni d'une stratification (X^j). On donne une condition géométrique (G) sur la famille (le long d'une strate X^j) des discriminants des projections générales de X sur des plans vectoriels, qui assure la continuité d'invariants locaux de courbure attachés aux germes X_y, y dans X^j. On montre que si la stratification (X^j) est (b*) ou (w)-régulière, la condition (G) est réalisée. Il s'agit de la version réelle du théorème de Teissier selon lequel la condition de Whitney implique la constance des multiplicités polaires en analytique complexe. contrairement au cas complexe, on ne peut en espérer une réciproque en réel.

Jeudi 7 Juin
Francesca Acquistapace et Fabrizio Broglia (Pise) : Un panorama de la géométrie semianalytique globale.
Résumé: Il y a toujours deux points de vue en géométrie analytique: local et global. La dichotomie devient plus importante dans le cas réel, où déjà Cartan (années 50) remarqua les mauvaises proprietés des espaces analytiques reels definis de façon analogue aux espaces complexes. Ceci l'amena à considérer la sous-catégorie des sous-ensembles analytiques definis par des équations globales, les C-espaces. Pour les C-espaces on garde beaucoup des proprietés des espaces complexes, notamment la decomposition en composantes irréductibles et la possibilité d'utiliser la théorie des faisceaux cohérents.
Le point de vue local, autrement dit le cas des germes, est basé comme tout le monde sait sur le théoreme de préparation de Weierstrass. L'anneau sous-jacent est l'anneau des séries convergentes, le voisinage du point n'est pas fixé. Par contre dans le point de vue global, l'ouvert est fixé et l'anneau est l'anneau O(U) des fonctions analytiques réelles sur U.
Les problèmes qui on va considérer sont de deux sortes:

Propriétés de l'anneau:
- caractérisations des fonctions non négatives (Hilbert 17)
- Nullstellensatz, Positivstellensatz ...
Propriétés des ensembles définissables par l'anneau:
- composantes connexes des ensembles semianalytiques globaux
- fermeture

Dans l'exposé on essaiera de donner un panorama des résultats connus sur chacun de ces sujets pour avoir une idée sur l'état de l'art dans ce domaine.

Jeudi 14 Juin
Alexandre Sine (Angers) : Maximalité des variétés toriques en dimension 4.
Résumé: Le but de cet exposé sera de montrer qu'une variété torique de dimension 4 est maximale, c'est-à-dire que la somme des nombres de Betti de l'ensemble de ses points réels est égale à celle de l'ensemble de ses points complexes, en se basant sur la méthode utilisée dans l'article "Is every toric variety an M-variety?" (Clint Mc Crory, Frederic Bihan, Matthias Franz, Joost Van Hamel 2006).

Jeudi 5 Juillet
Masahiro Shiota (Nagoya/Rennes) : Differential topology over real closed field
Résumé: I want to develop differential topology over any real closed field R. It is natural to asume an o-minimal structure on R for the definition of a derivative of a function. Then many known results on differential topology hold over R by the following theorems.
Theorem. A definable C¹ manifold M in Rⁿ is definably C¹ diffeomorphic to a Nash manifold M' in Rⁿ defined by polynomials with coefficients in Q.
Let M₁, M₂ be definable C¹ manifolds. Set Hom_d(M₁, M₂) = definable homotopy classes from M₁ to M₂, and M_R = the Nash manifold defined in Rⁿ by the same polynomials as M'.
Theorem There is a natural one-to-one map Hom_d(M₁,M₂) -> Hom(M₁_R , M₂_R) (usual homotopy classes). If M₁ and M₂ are definably C¹ diffeomorphic, M₁ _R and M₂ _R are Nash diffeomorphic.

Année 2005-2006

Trimestre de Géométrie Réelle du Centre Emile Borel (du 12 septembre au 16 Décembre 2005) : voir le programme scientifique.

Jeudi 9 Février
Krzysztof Grelowski : On some extension of Hardy fields by elements without C-infinity representatives.

Jeudi 16 Février
Daniel Plaumann : Bounded polynomials and the moment problem.

Jeudi 23 Février
Masahiro Shiota (Nagoya) : Definable analytic functions.

Jeudi 16 Mars: soutenance de l'habilitation de J-P. Monnier à Angers

Jeudi 23 Mars
Ilia Itenberg (Strasbourg) : Combinatoire des courbes trigonales réelles.

Jeudi 30 Mars
Goulwen Fichou : Nombres de Betti virtuels equivariants.

Jeudi 6 Avril: pas de séance (rencontre "Sources of Real Algebraic Geometry" à Cortona)

Jeudi 13 Avril
Jean-Philippe Monnier (Angers) : Points fixes des automorphismes de courbes réelles.

Jeudi 20 Avril
Nicolas Dutertre (Marseille) : Voisinages semi-algébriques d'ensembles semi-algébriques fermés.

Jeudi 1er Juin
Krzysztof Kurdyka (Chambéry) : Vers les structures d-minimales: un ensemble de Cantor de dimension entropique (exponentiellement) nulle (Travail en commun avec P. Speissegger).
Résumé

Mercredi 7 Juin, 15h30 (séance supplémentaire, salle 016)
Moussa Seydou : Diamètre géodésique des ensembles semi-algébriques.

Jeudi 8 Juin
Alexandre Rambaud (Paris 7) : Quasi-analyticité, o-minimalité et élimination des quantificateurs

Jeudi 15 Juin
Colloque "Geometry and topology of real algebraic varieties" à Angers

Jeudi 22 Juin
Grigory Mikhalkin (Toronto - IHES) : Spatial tropical curves

Jeudi 29 Juin
Johan Huisman (Brest) : Courbes hyperelliptiques anisotropes et configurations de droites

Année 2004-2005

Jeudi 9 Septembre 2004:
Masahiro Shiota (Nagoya): Construction of a family of topological types of manifolds, with cardinality of the continuum, by linear methods.

Jeudi 23 Septembre 2004:
Masahiro Shiota (Nagoya): Whitney triangulations.

Jeudi 7 Octobre 2004:
Mark Spivakovski (Toulouse) : Sur la conjecture de Pierce-Birkhoff.

Jeudi 14 Octobre 2004:
James Madden (Baton Rouge) : The Pierce-Birkhoff conjecture and Local Real Geometry.

Jeudi 4 Novembre 2004:
Ilia Itenberg (Strasbourg): Variétés hyperkähleriennes réelles.

Jeudi 25 Novembre 2004:
Guillaume Valette (Cracovie): Une version bilipschitz du théorème de trivialisation de Hardt

Jeudi 2 Décembre 2004:
Jean-Yves Welschinger (ENS Lyon): Invariants relatifs des variétés symplectiques réelles de dimension quatre.

Jeudi 6 Janvier 2005:
Serge Randriambololona (Chambéry): Structures o-minimales et corps de Hardy: quelques exemples.

Jeudi 13 Janvier 2005:
Mathilde Lahaye-Hitier (Brest): Fonctions rationnelles réel-étales.

Jeudi 27 Janvier2005:
Didier D'Acunto (Pise/Chambéry): Inégalité du gradient de Lojasiewicz effective.

Jeudi 3 Février2005:
Goulwen Fichou: Le corang est un invariant de l'équivalence de Nash après éclatement.

Jeudi 17 Février2005:
Alexei Grigoriev (MPI Bonn): Effective estimates on the number of zeros of Abelian integrals.

Jeudi 10 Mars 2005:
Ilia Itenberg (Strasbourg) - sous réserve.

Jeudi 31 Mars 2005:
Claude Viterbo (Polytechnique) : Bornes explicites sur des nombres caractéristiques de variétés algébriques réelles.

Jeudi 7 Avril 2005:
Joost van Hamel (Leuven) : Borel-Haefliger revisité

Mercredi 4 Mai 2005:
Thèse de Solen Corvez : Etude de systèmes polynomiaux : contributions à la classification d'une famille de manipulateurs et au calcul des intersections de courbes A-splines

Jeudi 2 Juin 2005:
Johan Huisman (Brest) : Des uniréglées et des lenticulaires (une conjecture de J. Kollar).

Année 2003-2004

Jeudi 18 septembre 2003:
Jesús M. RUIZ (Madrid) : ``Sums of squares of analytic functions on curves and surfaces''.

Jeudi 2 Octobre 2003:
Louis Mahé : ``Quelques résultats de descente pour le rang des courbes elliptiques, et polynômes à la Motzkin".

Jeudi 9 Octobre 2003:
Ilia Itenberg (Strasbourg) : ``Courbes réelles rationelles sur les surfaces de Del Pezzo toriques".

Jeudi 6 Novembre 2003:
Luis Felipe Tabera : ``First steps in tropical algebraic geometry", d'après B. Sturmfels et al.

Jeudi 13 Novembre 2003:
David Trotman (Marseille) : "Stratifications lipschitziennes de Mostowski, ailes génériques et suffisance de jets".

Jeudi 20 Novembre 2003:
Johan Huisman (Brest) : "Méthodes analytiques en géométrie algébrique réelle".

Jeudi 27 Novembre 2003:
Erwan Brugallé : "Courbes projectives séparantes symétriques de degré 7: classifications algébrique et pseudo-holomorphe".

Jeudi 4 Décembre 2003:
Karim Bekka : "Sur l'algèbre des fonctions controlées".

Jeudi 8 Janvier 2004:
Didier D'Acunto (Chambéry / Complutense Madrid) : "Diamètre géodésique d'une composante connexe compacte d un ensemble algebrique réel".

Jeudi 22 Janvier 2004:
Michel Coste : "Triangulation des morphismes définissables".

Jeudi 5 Février 2004:
Goulwen Fichou (Angers) : "Equivalence de Nash après éclatement (questions de modules, invariants, classification)".

Jeudi 12 Février 2004:
Luis Felipe Tabera: "Constructions géométriques tropicales".

Jeudi 26 Février 2004:
Ludovic Rifford (Lyon I) : "Un théorème de Sard pour certaines fonctions lipschitziennes"

Jeudi 4 Mars 2004:
Andreas Bernig (Freiburg) : "Espaces tangents des ensembles sous-analytiques".

Jeudi 11 Mars 2004:
Louis Mahé : "Sur la conjecture de Pierce-Birkhoff en 3 variables".

Jeudi 18 Mars 2004:
Frédéric Bihan (Lausanne) : "Méthode de Viro pour les intersections complètes".

Jeudi 25 Mars 2004:
Ilia Itenberg (Strasbourg) : "Dénombrement asymptotique de courbes rationnelles réelles''.

Jeudi 22 Avril 2004:
Lucia Lopez de Medrano (Jussieu): "T-construction et points critiques des surfaces"

Jeudi 29 Avril 2004:
Patrick Speisseger (McMaster University, Hamilton) : "D-minimalité et une trichotomie pour les champs de vecteurs analytiques dans le plan réel."
Résumé: Soit F un champ de vecteurs analytique dans le plan réel, et soit T le germe à l'origine d'une trajectoire. Supposons que l'origine est une singularité élémentaire de F. Alors il n'y a que trois possibilités: soit l'expansion (R,T) du corps réel R par (l'image de)T est o-minimale, soit elle est d-minimale, soit elle définit l'ensemble Z des entiers. Je définis la notion de d-minimalité, et je discute son possible intérêt comme notion au-delà de l'o-minimalité. Si le temps permet, je mentionne aussi d'autres extensions de l'o-minimalité avec un intérêt possible dans l'étude des champs de vecteurs.

Jeudi 6 Mai 2004:
Jean-Philippe Monnier (Angers) : "Theoreme de Clifford pour les courbes algebriques reelles."

Jeudi 13 Mai 2004:
Aleksandra Nowel (Angers/Gdansk) : "Topological invariants of analytic sets associated with noetherian families."

Jeudi 27 Mai 2004:
Clint McCrory (Athens, Georgia) : "Compact real toric varieties are M-varieties."

Abstract: Let X be a complete toric variety, let X(R) be its real points, and let X(C) be its complex points. We prove that the sum of the Z/2 Betti numbers of X(R) equals the sum of the Z/2 Betti numbers of X(C). This is well-known for smooth complete toric varieties. Our proof extends this result to singular toric varieties. This is joint work with Frederic Bihan and Joost van Hamel.

Jeudi 17 Juin 2004:
Jean-Marie Lion: Le théorème du complémentaire pour les sous-pfaffiens.
Mahaman Bazanfaré (Niamey): Théorème des sphères pour les variétés à courbure positive.

Année 2002-2003

Jeudi 12 septembre 2002:
Jesús M. RUIZ (Madrid) : ``What we know and we guess about the Pythagoras numbers of rings''.

Jeudi 19 septembre 2002:
Masahiro SHIOTA (Nagoya): ``Triangulations of semialgebraic maps''.

Jeudi 10 octobre 2002:
Johannes HUISMAN : ``Hypersurfaces réelles et configurations de pseudo-hyperplans''.

Jeudi 17 octobre 2002:
Yildiray OZAN (Middle East Technical University, Turquie) : ``Algebraic and Hamiltonian Circle Actions''.

Jeudi 24 octobre 2002:
Markus SCHWEIGHOFER (post doc RAAG à Rennes) : ``The real holomorphy ring of a ring and its iterations''.

Jeudi 31 octobre 2002:
Isabelle BONNARD (Paris 6) : ``Fonctions analytiquement constructibles''.

Jeudi 7 novembre2002 :
Daniel PANAZZOLO (Sao Paulo) : ``Désingularisation d'un germe d'un champ de vecteurs de l'espace''.

Jeudi 14 novembre 2002:
Adam PARUSINSKI (Angers) : ``Invariants motiviques des ensembles réels''.

Jeudi 21 novembre 2002:
Karim BEKKA : ``Voisinages tubulaires''.

Jeudi 28 novembre 2002:
Karim BEKKA : `` Structure différentiable sur un ensemble sous-analytique''.

Jeudi 5 décembre 2002:
Ronan QUAREZ : ``Espace des germes d'arcs réels et série de Poincaré d'un ensemble semi-algébrique''.

Jeudi 12 décembre 2002:
Frédéric MANGOLTE (Chambéry) : ``Morphismes algébriques vers la sphère standard et surfaces de Del Pezzo réelles de degré 2''.

Jeudi 16 janvier 2003:
Andreas BERNIG (Zurich) : "Formules de Schlaelfi et courbures des ensembles sous-analytiques".

Jeudi 23 janvier 2003:
Erwan BRUGALLE : "Classification des courbes symétriques de degré 7 dans le plan projectif".

Jeudi 30 janvier2003 :
Didier D'ACUNTO (Madrid, Chambéry) : "Une borne pour la longueur des trajectoires de gradient de fonctions définissables".

Jeudi 6 février 2003:
Jean-Yves WELSCHINGER (ENS de Lyon) : "Invariants des variétés symplectiques rationnelles réelles de dimension quatre et bornes inférieures en géométrie énumérative réelle".

Jeudi 13 février 2003:
Antoine DUCROS : "Sous-ensembles semi-algébriques d'une variété algébrique p-adique (vue comme espace de Berkovich)".

Mercredi 19 février2003 :
Sergey FINASHIN (Ankara) : ``The residual invariants for the Seiberg-Witten/Ozsvath-Szabo theories and the adjunction inequality for membranes''.

Jeudi 20 février 2003:
Michele LATTARULO (Genes) : "Automorphismes imaginaires sur les courbes hyperelliptiques réelles".

Vendredi 21 février 2003 :
Gabriel DOS REIS (INRIA Sophia Antipolis) : ``Géometrie et construction de surfaces à courbure moyenne constante''.

Jeudi 6 mars 2003:
Jean-Philippe MONNIER (Angers) : "Diviseurs sur les courbes algébriques réelles".

Jeudi 13 mars 2003:
Ilia ITENBERG : "Amibes non archimédiennes et géométrie énumérative".

Jeudi 20 mars 2003:
Georges COMTE (Nice) : "Localisation des invariants de Dehn-Weyl".

Jeudi 27 mars 2003:
Goulwen FICHOU (Angers) : "Nombres de Betti virtuels pour les ensembles symétriques par arcs".

Mercredi 16 avril 2003 :
Vincent FLORENS (Strasbourg) : ``Sur le théorème de Fox-Milnor pour le polynôme d'Alexander d'un entrelacs''.

Jeudi 17 avril 2003:
Nicolas DUTERTRE (Marseille) : "Sur la caractéristique d'Euler d'un ensemble algébrique ayant un ensemble singulier compact".

Jeudi 22 mai 2003:
Johannes HUISMAN : ``Toute 3-variété de Seifert orientable est une composante réelle d'une variété uniréglée''.

Jeudi 12 juin 2003:
Eugenii SHUSTIN (Tel Aviv) : ``On real pseudo-holomorphic non-algebraic curves''.

Jeudi 19 juin 2003:
Alex DEGTYAREV (Ankara) : Towards the quasi-simplicity of real elliptic surfaces''.

Jeudi 26 juin 2003:
Sergey FINASHIN (Ankara) : ``Invariants of surfaces in 4-manifolds and adjunction inequality for membranes''.

Année 2001-2002

JEUDI 4 octobre 2001 :
Adam PARUSINSKI (Angers) : ``Catégories constructibles et théorème de Borel-Kurdyka''.

JEUDI 11 octobre 2001 :
Johan HUISMAN: ``Sur la géométrie énumérative de courbes réelles planes''.

JEUDI 18 octobre 2001 :
Detlev HOFFMANN (Besançon) : ``Relations d'équivalence pour des formes quadratiques''.

JEUDI 25 octobre 2001 :
Vyacheslav NIKULIN (Liverpool) : ``On automorphism groups of K3 surfaces''.

JEUDI 8 novembre 2001 :
Rémi SOUFFLET (Dijon) : ``Théorème de préparation pour les fonctions logarithmico-exponentiel''.

JEUDI 15 novembre 2001 :
séance en commun avec le séminaire de Géométrie analytique
Laurent BONAVERO (Grenoble) : ``Une caractérisation de la quadrique complexe''.

JEUDI 22 novembre 2001 :
Jean-Philippe MONNIER (Angers) : ``Diviseurs sur les courbes réelles''.

JEUDI 29 novembre 2001 :
Lev BIRBRAIR (Valladolid) : ``Metric Homology and Characteristic Exponents of Singular Spaces''.

JEUDI 6 décembre 2001 :
Krzysztof KURDYKA (Chambery) : ``Une généralisation de l'inégalite de gradient pour les applications analytiques''.

MARDI 18 décembre 2001 :
Victor VASSILIEV (Moscou) : ``Combinatorial formulas for cohomology classes of spaces of knots''.

JEUDI 20 décembre 2001 :
Alexandre GABARD (Genève) : ``Une caractérisation des courbes réelles séparantes''.

JEUDI 24 janvier 2002 :
Vincent FLORENS (UBS Vannes) : ``Inégalité de Murasugi-Tristram généralisée et orientations complexes des M-courbes de degré 7''.

JEUDI 7 février 2002 :
Jean-Yves WELSCHINGER (ENS, Lyon) : ``Structures réelles sur les surfaces reglées minimales''.

LUNDI 11 février 2002 :
Jesus ESCRIBANO (Madrid) : ``Definable families of definable stratified sets''.

JEUDI 14 février 2002 :
Jean-Marie TREPREAU (Paris VI) : ``Classification holomorphe de courbes planes analytiques''.

JEUDI 28 février 2002 :
Alexander DEGTYAREV (Bilkent) : ``The equivariant moduli space of K3-surfaces has finitely many connected components''.

JEUDI 7 mars 2002 :
Michel CROUZEIX : ``Quelques problèmes liés à l'image numérique d'une matrice carrée''.

JEUDI 14 mars 2002 :
Pierre MILMAN (Toronto) : ``Differentiable functions defined on closed sets. A problem of Whitney''.

JEUDI 28 mars 2002 :
Patrick SPEISSEGGER (Université de Madison) : ``Noyau ouvert et o-minimalité d'une structure sur la ligne réelle''.

MERCREDI 24 avril 2002 :
János KOLLÁR (Princeton) : `` Which are the simplest algebraic varieties?''.

JEUDI 25 avril 2002 :
János KOLLÁR (Princeton) : ``The Nash conjecture for nonprojective threefolds''.

JEUDI 2 mai 2002 :
Jose FERNANDO (Madrid) : "Sums of squares of analytic function germs".

JEUDI 16 mai 2002 :
Jose SEADE (Cuernavaca, Mexique) : "On real singularities with a Milnor fibration".

JEUDI 23 mai 2002 :
Ján MINÁC (London, Ontario) : "Operation Mountain Tiger in Galois module theory".

JEUDI 30 mai 2002 :
Markus PFLAUM (Francfort) : "Homology theories of algebras of Whitney functions over subanalytic sets".

JEUDI 6 juin 2002 :
Vincent GRANDJEAN (Chambéry) : "Infinite relative determinacy of germs with non isolated singularities and relatiive Lojasiewisz conditions".

JEUDI 13 juin 2002 :
Abdelhafed ELKHADIRI (Kenitra, Maroc) : "Théorème du complément pour les ensembles quasi sous analytiques".

JEUDI 20 juin 2002 :
Marie-Françoise ROY : "Descartes, racines virtuelles et algorithme de Casteljau".

LUNDI 24 juin 2002 :
Abdelhafed ELKHADIRI (Kenitra, Maroc) : "Projections d'ensembles Gevrey semi-analytiques".

JEUDI 27 juin 2002 :
Benoît BERTRAND: "Courbes et surfaces algébriques réelles maximales dans des variétés toriques de dimension 3".

Année 2000-2001

21 septembre 2000:
S. Finashin (Ankara) : Topology of real surface singularities.

5 octobre 2000:
A. Ducros : Courbes de genre 1 sur R(t) et R((t)).

12 octobre 2000 :
J.-M. Lion : Structures o-minimales et croissance controlée de courbes intégrales.

26 octobre 2000 :
R. Quarez : Espace des germes d'arcs réels tracés sur un ensemble semi-algébrique.

2 novembre 2000 :
H. Pennaneac'h : Chaines lagrangiennes algébriquement constructibles.

Mardi 7 novembre 2000 :
O. Viro (Uppsala) : Real algebraic knot theories.

16 novembre 2000 :
F. Morel (Paris 7) : Théorie de l'homotopie, formes quadratiques et groupes de Chow des cycles orientés.

23 novembre 2000 :
I. Bonnard (Angers) : Fonctions Nash-constructibles.

30 novembre 2000 :
I. Itenberg : Finitude du nombre de structures réelles sur une surface K3.

7 décembre 2000 :
J.-L. Colliot-Thélène (Orsay) : Formes quadratiques sur C((x, y)).

14 décembre 2000 :
J. Huisman : Formes quadratiques et classes d'homotopie de morphismes de la droite projective dans elle-même.

11 janvier 2001 :
A. Aigon (Montpellier) : Equations de courbes et surfaces hyperboliques en genre 2.

18 janvier 2001 :
K. Bekka : Sur le cône tangent.

Vendredi 19 janvier 2001 :
A. Degtyarev (Bilkent) : Some finiteness results in real algebraic geometry.

25 janvier 2001:
S. Orevkov (Toulouse) : Classification des M-courbes pseudo-holomorphes réelles de degré 8.

1 février 2001 :
J.-Y. Welschinger (Strasbourg) : Forme d'intersection tordue et extension de la congruence d'Arnol'd.

15 février 2001 :
J.-Ph. Monnier (Angers) : Groupe de Witt des courbes réelles singulières.

22 février 2001:
G. Comte (Nice) : Equisingularité réelle.

1 mars 2001 :
I. Itenberg : Points critiques de polynômes réels.

Mardi 13 mars 2001 :
à 14 h 00 :   A. Parusinski (Angers) : Méthode de polygone de Newton relatif à une courbe.
à 16 h 00 :   S. Koike (Hyogo) : Equisingularity problem of real algebraic singularities.

22 mars 2001 :
J. Huisman : Sur le nombre d'ovales d'une courbe gauche réelle.

29 mars 2001 :
J.-J. Risler (Paris VI) : Sur la courbure de la fibre de Milnor.

19 avril 2001:
N. Dutertre (Barcelone) : Courbure et singularités réelles.

26 avril 2001:
J. Huisman : Sur le dual d'une hypersurface analytique réelle.

3 mai 2001:
P. Balmer (Münster) : Groupes de Witt et catégories triangulées.

10 mai 2001 :
D. Derval : Sur les cycles algébriques d'une variété algébrique réelle obtenue à partir d'une modification.

17 mai 2001 :
J. Königsmann (Konstanz) : Encoding valuations in absolute Galois groups.

Mardi 22 mai 2001 :
J. Königsmann (Konstanz) : Model theoretic versus field theoretic algebraic closure.

31 mai 2001 :
K. Becher (Besançon) : Corps non réels avec un nombre de classes de carrés fini.

Lundi 18 juin 2001 :
G. Mikhalkin (University of Utah) : Topology of algebraic hypersurfaces.

Mardi 19 juin 2001 :
O. Viro (Uppsala University) : Khovanov homology of classical links.

Mercredi 20 juin 2001 :
à 10 h 30 : S. Finashin (Middle East Technical University) : Seiberg-Witten invariants for surfaces in 4-manifolds.
à 13 h 30 : A. Gabrielov (Purdue) :   Degrees of Real Grassmann Varieties.

21 juin 2001 :
A. Degtyarev (Bilkent Univeristy) : Klein actions on complex tori.

Année 1999-2000

7 octobre 1999 :
J. Huisman : Sur le groupe fondamental d'une courbe algébrique réelle.

14 octobre 1999 :
M. Tibar (Lille) : Feuilles séparatrices d'un feuilletage algébrique.

21 octobre 1999 :
J. Escribano (Madrid / Rennes) : Nash triviality in families of Nash mappings

28 octobre 1999 :
A. Diaz-Cano (Madrid / Rennes) : Complexity of global semianalytic sets.

4 novembre 1999 :
M. Coste : Propriétés globales des fonctions de Nash : tranfert et bornes uniformes.

18 novembre 1999 :
T. Sturm (Passau) : Providing real solutions.
F. Rouillier (Nancy) : RS: solutions réelles.

25 novembre 1999:
S. Koike (Hyogo) : Computations and stability of the Fukui invariant.

2 décembre 1999:
N. Dutertre : Sur la caractéristique d'Euler d'intersections complètes à singularités isolées.

9 décembre 1999:
I. Itenberg : Topologie des hypersurfaces réelles combinatoires.

16 décembre 1999:
V. Grandjean : Discriminant résiduel de quelques singularités non isolées.

13 janvier 2000:
M. Coste : Valeurs atypiques à l'infini de polynomes réels en deux variables.

20 janvier 2000:
J. Escribano (Madrid / Rennes) : An approximation theorem for definable mappings.

27 janvier 2000:
S. Orevkov (Toulouse) : Topologie des courbes algébriques réelles et courbes pseudo-holomorphes réelles.

10 février 2000:
J. Huisman : Courbes gauches algébriques ayant beaucoup de branches réelles et peu de points d'inflexion.

2 mars 2000:
A. Bernig (Münster) : Espaces d'Alexandrov dans les structures o-minimales.

9 mars 2000 :
K. Bekka : Sur l'homologie des espaces stratifiés.

30 mars 2000:
A. Fekak (Casablanca) : Géométrie semi-algébrique p-adique, analogie avec le cas réel.

31 mars 2000 :
D. Hoffman (Besancon) : Le nombre de Pythagore d'un corps.
D. Leep (Univ. de Kentucky) : Pencils of quadratic forms and hyperelliptic function fields.

6 avril 2000:
P. Orro (Chambery) : Valeurs critiques généralisées et théorème de Sard.

13 avril 2000:
J. Huisman : Sur la composante neutre de l'ensemble des points réels de la Jacobienne d'une courbe.

4 mai 2000:
F. Bihan (Genève) : Sur les valeurs asymptotiques des nombres de Betti d'hypersurfaces algébriques d'espaces projectifs réels.

11 mai 2000:
J-Ph. Monnier (Angers) : Groupe de Witt et torsion dans le groupe de Picard pour les courbes
algébriques réelles.

18 mai 2000:
A. Rosly (Moscou) : Polar homology

15 juin 2000 :
A. Degtyarev (Univ. de Bilkent) : Real quantum cohomology -- perspectives and applications.

22 juin 2000 :
pas de séance

29 juin 2000 :
L. Mahé : Généralisation d'ordres et clôtures associées.