Exposés de l'année 2017/2018
Angelo Rosello (Université Rennes 1)
Jeudi 21 juin 2018 à 14h - Salle 006
Diffusion-Approximation for a kinetic equation
On s’intéresse à une EDP cinétique perturbée par un processus markovien \(m\), stationnaire, à valeurs fonctionnelles, générique. L’équation modélise le comportement de particules, soumises à une force de trainée, immergées dans un fluide ambiant qui est agité aléatoirement. On montre que, dans une certaine limite d’échelle, la densité de particules converge en loi vers une diffusion, solution d’une EDP stochastique dont le drift et la variance peuvent être identifiés en fonction du processus \(m\).
Camille Pagnard (Université Paris-Dauphine)
Vendredi 01 juin 2018 à 13h30 - Salle 016
Limites locales et croissance volumique d'arbres Markov branchants
Dans cet exposé, on étudiera des familles d'arbres qui ont la propriété dite de Markov branchante : heuristiquement, si \(T_n\) a \(n\) nœuds, conditionnellement à l’événement "\(T_n\) a \(p\) sous-arbres de tailles \(n_1, \dots, n_p\)", les \(p\) sous arbres sont indépendants et de même loi que \(T_{n_1}, \dots, T_{n_p}\) respectivement. On verra comment les lois des éléments d'une telle famille sont caractérisées et on donnera un critère pour s'assurer de leur convergence au sens des limites locales vers un arbre Markov branchant infini \(T_\infty\). On s'intéressera ensuite à la question suivante : comment varie le nombre de nœuds dans les \(R\) premiers niveaux de \(T_\infty\) quand \(R\to\infty\) ? Pour illustrer ces notions et résultats, on étudiera le modèle bien connu des arbres de Galton-Watson.
Maud Joubaud (Université de Montpellier)
Vendredi 25 mai 2018 à 14h - Salle 805 (bibliothèque)
Optimal stopping for measure-valued piecewise deterministic Markov processes, Application to population dynamics
Marie Morvan (Université Rennes 1)
Lundi 9 avril 2018 à 13h - Salle 016
Régression logistique pénalisée en présence de classes latentes - Application à la prédiction de la NASH par des données de Spectrométrie IR
La spectrométrie Infra-Rouge permet d'obtenir le profil moléculaire de l'échantillon mesuré, et il existe de nombreuses applications visant à adapter la spectrométrie au diagnostic de maladies. Nous nous plaçons dans un cas où les individus que l'on souhaite diagnostiquer sont structurés en groupes méconnus. Nous nous intéressons donc à la prédiction d’une variable binaire, par un ensemble de variables structurées en classes latentes. Ces classes latentes structurent à la fois les covariables, et leur lien avec la variable réponse. Dans cet exposé, nous proposons donc un modèle de mélange adapté à la prédiction d’une variable binaire. L’estimation des paramètres du modèle est réalisée par maximum de vraisemblance, avec l’algorithme EM. En présence d’un grand nombre de covariables, l’estimation des matrices de covariance pleines, ainsi que l’interprétation des modèles de régressions représentent un problème difficile. Pour mettre en avant les covariables pertinentes pour la prédiction et leurs relations, nous appliquons une pénalisation à la fois sur la matrice de précision, et sur les coefficients de régression du modèle. Le modèle estimé dépend de paramètres de régularisation qui permettent de régler la force de pénalisation. Des outils de sélection automatique sont utilisés pour choisir le meilleur modèle, en se basant sur le critère AIC. Les performances du modèle sont évaluées sur une étude de simulation, et une illustration de notre méthode est exposée sur des données de spectrométrie, utilisée pour le diagnostic de la stéato-hépatite non alcoolique (NASH).
Mac Jugal Nguepedja Nankep (ENS Rennes)
Jeudi 22 mars 2018 à 14h - Amphithéâtre de l'ENS Rennes
Modélisation stochastique de systèmes biologiques multi-échelles inhomogènes en espace - Soutenance de thèse
Les besoins grandissants de prévisions robustes pour des systèmes complexes conduisent à introduire des modèles mathématiques considérant un nombre croissant de paramètres. Au temps s'ajoutent, l'espace, l'aléa, les échelles de dynamiques, donnant lieu à des modèles stochastiques multi-échelles avec dépendance spatiale (modèles spatiaux). Cependant, l'explosion du temps de simulation de tels modèles complique leur utilisation. Leur analyse difficile a néanmoins permis, pour les modèles à une échelle, de développer des outils puissants: loi des grands nombres (LGN), théorème central limite (TCL), ..., puis d'en dériver des modèles simplifiés et algorithmes accélérés. Dans le processus de dérivation, des modèles et algorithmes dits hybrides ont vu le jour dans le cas multi-échelle, mais sans analyse rigoureuse préalable, soulevant ainsi la question d'approximation hybride dont la consistance constitue l'une des motivations principales de cette thèse. En 2012, Crudu, Debussche, Muller et Radulescu établissent des critères d'approximation hybride pour des modèles homogènes en espace de réseaux de régulation de gènes. Le but de cette thèse est de compléter leur travail et le généraliser à un cadre spatial. Nous avons développé et simplifié différents modèles, tous des processus de Markov de sauts pures à temps continu. La démarche met en avant, d'une part, des conditions d'approximations déterministes par des solutions d'équations d'évolution (type réaction-advection-diffusion), et, d'autre part, des conditions d'approximations hybrides par des processus stochastiques hybrides. Dans le cadre des réseaux de réactions biochimiques, un TCL est établi. Il correspond à une approximation hybride d'un modèle homogène simplifié à deux échelles de temps (suivant Crudu et al.). Puis, une LGN est obtenue pour un modèle spatial à deux échelles de temps. Ensuite, une approximation hybride est établie pour un modèle spatial à deux échelles de dynamique en temps et en espace. Enfin, des comportements asymptotiques en grandes populations et en temps long sont présentés pour un modèle d'épidémie de choléra, via une LGN suivie d'une borne supérieure pour les sous-ensembles compacts, dans le cadre d'un principe de grande déviation (PGD) correspondant. À l'avenir, il serait intéressant, entre autres, de varier la géométrie spatiale, de généraliser le TCL, de compléter les estimations du PGD, et d'explorer des systèmes complexes issus d'autres domaines.
Hélène Hibon (Université Rennes 1)
Mercredi 21 mars 2018 à 14h - Salle 12, bâtiment 32B
Equations différentielles stochastiques rétrogrades quadratiques et réfléchies - Soutenance de thèse
Cette thèse s'intéresse à une étude variée des EDSRs. Une grande partie des résultats sont obtenus sous l'hypothèse d'une croissance de type quadratique du générateur en sa dernière variable. Un premier lien entre EDSRs quadratiques unidimensionnelles et théorie des jeux nous amène à développer des résultats avec générateurs convexes. La théorie du contrôle optimal nécessite quant à elle de traiter le cas multidimensionnel, dans lequel existence et unicité globales ne sont obtenues que pour des générateurs diagonalement quadratiques. Les résultats majeurs sur les EDSRs réfléchies (dont la solution est contrainte à rester dans un domaine) concernent des générateurs Lipschitziens. C'est dans ce cadre que nous développons un résultat de propagation du chaos, avec une contrainte portant sur la loi de la solution plutôt que sur sa trajectoire. Nous dressons enfin un pont entre EDSRs quadratiques et EDSRs réfléchies grâce aux EDSRs quadratiques de type champ moyen. Nous donnons plusieurs nouveaux résultats sur la possibilité de résoudre une équation quadratique dont le générateur dépend également de la moyenne des deux variables.
Amine Helali (Université de Brest)
Lundi 12 mars 2018 à 13h - Salle 016
Étude de la vitesse de convergence de l'échantillonneur de Gibbs pour le modèle d'Ising unidimensionnel
La vitesse de convergence de l'algorithme de l'échantillonneur de Gibbs appliquée au modèle d'Ising est déterminée par la deuxième plus grande valeur propre de sa matrice de transition notée \(\beta^*\). Dans cet exposé on généralise un résultat obtenu par Chen et Shiu 2015 pour le modèle d'Ising unidimensionnel avec deux états. La méthode est basée sur la borne de Diaconis et Stroock pour les cas des chaînes de Markov réversibles. La nouvelle borne améliore les résultats classiques de Ingrassia 1994.
Florian Lemonnier (Université Rennes 1)
Lundi 26 février 2018 à 13h - Salle 006
Comment résoudre numériquement des EDS rétrogrades ?
L'existence et l'unicité des solutions d'EDSR à générateur lipschitzien et horizon fini ont été établies par Pardoux et Peng dès 1990. Cependant, en pratique, l'approximation discrète de ces EDSR est un problème difficile. En 2001, Briand, Delyon et Mémin proposent un schéma de résolution implicite basé sur la discrétisation du Brownien à l'aide du théorème de Donsker ; puis Peng et Xu prolongent leur idée en 2008 et présentent un schéma similaire mais explicite. On s'intéressera notamment dans cet exposé à la résolution d'EDSR discrètes, à leur convergence vers l'EDSR en temps continu, et à l'utilisation d'un algorithme de résolution.
Carlo Bellingeri (Université Paris 6)
Lundi 12 février 2018 à 13h - Salle 006
Formule d'Itō avec les structures de régularité
Dans cet exposé, on discutera comment la récente théorie des structures de régularité peut donner sa contribution pour établir une formule d'Itō pour les équations de la classe gKPZ et plus particulièrement sur l'équation de la chaleur stochastique additive.
Adrien Laurent (Université de Genève)
Lundi 29 janvier 2018 à 13h - Salle 006 - Séminaire commun Gaussbusters-Pampers
Un nouveau type de B-series pour l'étude d'intégrateurs numériques pour l'EDS Langevin overdamped
L'équation de Langevin est un outil de physique statistique très pratique pour modéliser le mouvement des particules dans un fluide. Dans cet exposé, on s'intéressera à une version simplifiée de cette équation, appelée "overdamped Langevin". On verra d'abord la construction physique de cette équation, ainsi que quelques rappels rapides sur les EDS, le concept de mesure invariante et quelques notions d'analyse numérique stochastique. Puis on introduira le concept de B-series, outil qui s'est avéré être extrêmement puissant en analyse numérique. Enfin, après avoir défini les "exotic aromatic B-series", on les appliquera à l'étude des conditions d'ordre pour la mesure invariante de schémas numériques de type Runge-Kutta. S'il reste du temps, on s'intéressera aux propriétés algébriques et géométriques de ces nouvelles B-series.
Ninon Fétique (Université Rennes 1)
Lundi 15 janvier 2018 à 13h - Salle 006
Processus Zig-zag généralisé
Les processus de Markov déterministes par morceaux (PDMP pour "piecewise deterministic Markov processes") permettent de décrire des phénomènes qui évoluent selon une dynamique déterministe pendant un certain temps, puis changent aléatoirement d’état avant de reprendre une évolution déterministe. Nous nous intéresserons dans l'exposé à l’étude d’une bactérie dont le mouvement est influencé par la présence d’un nutriment dans son environnement, ce mouvement pouvant être modélisé à l’aide d’un PDMP, que nous appelons processus Zig-zag généralisé. Nous montrerons que sous de bonnes conditions, ce processus converge à vitesse exponentielle vers son état d’équilibre. Pour cela nous utiliserons la méthode de couplage de Meyn et Tweedie, qui repose sur l’introduction d’une fonction de Lyapunov pour notre processus.
Arnaud Poinas (Université Rennes 1)
Lundi 18 décembre 2017 à 12h45 - Salle 006
Élimination de la redondance d'une base de données par échantillonnage déterminantal. Application en théorie des sondages.
La plupart des moteurs de recherche utilisent un algorithme qui classe les différents sites en fonction de leur pertinence par rapport aux mots-clés entrés par l'utilisateur. Un défaut de cette méthode est qu'elle cause de la redondance en proposant dans certains cas beaucoup de sites similaires à l’utilisateur, ce qui a tendance à enfouir les autres résultats potentiellement intéressants. Une méthode proposée par Alex Kulesza et Ben Taskar est l'utilisation de processus déterminantaux afin de résoudre ce problème. Dans cet exposé, nous verrons les propriétés de base de ces processus ainsi que les méthodes utilisés pour les simuler. Nous terminerons en présentant une application de ces résultats pour l’échantillonnage d'une population dans le cadre de la théorie des sondages.
Nathan Noiry (Université Paris Nanterre)
Lundi 4 décembre 2017 à 13h - Salle 006
Spectres de graphes aléatoires et convergence locale
Le spectre d'un graphe aléatoire est l'ensemble des valeurs propres de la matrice d'adjacence associée. Une manière d'encoder le spectre est de considérer la mesure spectrale du graphe, donnant une masse de Dirac à chaque valeur propre. Dans cet exposé, je m'intéresserai au comportement asymptotique de mesures spectrales associées à des suites de graphes (aléatoires) dont la taille tend vers l'infini. J'expliquerai pourquoi ce problème est intimement relié à l'énumération de chemins issus d'un sommet choisi uniformément dans le graphe. Ceci m'amènera à introduire la notion de convergence locale, et à discuter de ses conséquences sur la convergence des mesures spectrales de graphes aléatoires.
Alejandro Rivera (Université Grenoble Alpes)
Lundi 20 novembre 2017 à 13h - Salle 006
Traversée de rectangles pour la percolation de Voronoï : Vincent Tassion face à la dépendance
Le théorème de Russo Seymour-Welsh (RSW) est un résultat essentiel en percolation planaire. Ce théorème, obtenu indépendamment par Russo (1978) et Seymour & Welsh (1978), affirme qu'une configuration de percolation de Bernoulli, disons par arêtes dans le réseau \(\mathbb{Z}^2\), au paramètre critique \(p_c\) (ici \(p_c=1/2\)) traverse les rectangles isométriques à \([0,2R]\times[0,R]\) dans le sens de la longueur avec une probabilité bornée par le dessous uniformément en \(R\). Ce résultat possède une multitude de corollaires dont le fait qu'il n'y a pas de cluster infini à \(p_c=1/2\). Il fait appel à quatre propriétés du modèle : les symétries, l'autodualité, l'inégalité FKG et l'indépendance.
Dans les trente ans qui suivent la démonstration de ce théorème, la théorie de la mécanique statistique évolue beaucoup et on s'intéresse à des modèles qui vérifient les trois premières propriétés. La propriété d'indépendance en revanche, est spécifique à la percolation de Bernoulli et le théorème de RSW ne trouve pas d'équivalent dans la plupart des cas (une exception est le modèle d'Ising (voir Duminil-Copin, Hongler, Nolin 2009) qui possède une propriété de Markov spatiale).
C'est en octobre 2014 que Vincent Tassion met en ligne le préprint Crossing Probabilities for Voronoi Percolation , où par un argument très astucieux il démontre le théorème de RSW dans un cadre très général en essayant d'esquiver le plus possible l'usage de l'indépendance.
Je présenterai le théorème de RSW classique et expliquerai la démonstration de Vincent Tassion.
Adrien Clarenne (Université de Rennes 1)
Lundi 6 novembre 2017 à 13h - Salle 006
Modèles de boules aléatoires
On considère une collection de boules aléatoires dans \(\mathbb{R}^d\) construites par un processus déterminantal, qui par conséquent induit de la répulsion entre ces boules. Nous étudierons ce modèle à un niveau macroscopique, c'est-à-dire en faisant un dezoom et nous verrons que, comme dans le cas Poissonien, 3 régimes limite apparaissent en fonction de la vitesse de dezoom. Je rappellerai la notion de mesure aléatoire de Poisson et de processus déterminantaux.
Matthieu Dussaule (Université de Nantes)
Lundi 9 octobre 2017 à 12h50 - Salle 006 - Séminaire commun Gaussbusters-Pampers
Marches aléatoires dans les espaces Gromov-hyperboliques
On commencera par introduire les espaces hyperboliques au sens de Gromov. On se concentrera sur deux exemples : les variétés différentielles hyperboliques et les arbres. Après un bref exposé des isométries de ces espaces, on étudiera le comportement asymptotique d'une marche aléatoire lancée dans un espace Gromov-hyperbolique : transience et convergence au bord.
Pierre Perruchaud (Université de Rennes 1)
Lundi 25 septembre 2017 à 13h - Salle 006
Des gaussiennes en dimension infinie : les espaces de Wiener abstraits
Considérons une ronde d'enfants. Chaque enfant tient la main de ses deux voisins, qui l'empêchent de s'éloigner trop. Cependant, les enfants étant turbulents, ils sont soumis à une perturbation aléatoire qui les pousse en avant ou en arrière. Leurs positions sont alors distribuées selon un vecteur gaussien : la variance d'une position est d'autant plus grande que sa turbulence est élevée, et la covariance d'autant plus faible que les bras sont étirables.
L'objectif de cet exposé est d'étudier la question : quel sens donner à la position d'une infinité d'enfants dansant la ronde ? Des rappels sur les vecteurs gaussiens serviront de motivation pour la définition des espaces de Wiener abstraits. On détaillera quelques premiers résultats de la théorie en s'appuyant sur l'exemple fondamental du mouvement brownien. Enfin, on parlera de quelques applications, aux équations aux dérivées partielles stochastiques ou au calcul de Malliavin par exemple.