Exposés de l'année 2014/2015

Pierre-Yves Madec (Université de Rennes 1)

Mardi 30 juin 2015 à 14h - Salle 004-006

Equations différentielles stochastiques rétrogrades ergodiques et applications aux EDP

Soutenance de thèse

Cette thèse s'intéresse à l'étude des EDSR ergodiques et leurs applications à l'étude du comportement en temps long des solutions d'une EDP parabolique semi-linéaire. Dans la première partie de cette thèse, nous établissons des résultats d'existence et d'unicité d'une EDSR ergodique avec conditions de Neumann au bord dans un convexe non borné et dans un environnement faiblement dissipatif.

La seconde partie est constituée de deux sous-parties. Tout d'abord, nous étudions le comportement en temps long des solutions mild d'une EDP parabolique semi-linéaire en dimension infinie par une méthode probabiliste. Puis, nous adaptons la méthode développée précédemment pour étudier le cas du comportement des solutions d'une EDP parabolique semi-linéaire avec condition de Neumann au bord dans un convexe borné en dimension finie.

Romain Azaïs (INRIA Nancy)

Jeudi 18 juin 2015 à 15h30 - Salle 004

Estimation récursive de la denisté invariante d'une chaîne de Markov

L'estimateur usuel à noyau de la densité introduit par Parzen et Rosenblatt a également une version récursive proposée par Wolverton et Wagner. Le but de l'exposé sera de montrer que cet estimateur est également consistant lorsqu'on cherche à estimer la loi invariante d'une chaîne de Markov ergodique. Précisément, on s'intéressera à la convergence presque sûre et en norme $\mathbb{L}^2$ ainsi qu'à la normalité asymptotique de cet estimateur.

Renan Gobard (Université de Rennes 1)

Mardi 2 juin 2015 à 14h - Salle 004-006

Fluctuations dans les modèles de boules aléatoires

Soutenance de thèse

Nous étudierons les fluctuations macroscopiques dans un modèle de boules aléatoires (agrégation de boules dans $\mathbb{R}^d$ dont les centres et les rayons sont aléatoires, qui sont également marquées par un poids aléatoire). On considère la masse $M(\mu)$ induite par le système de boules pondérées sur une configuration $\mu$ de $\mathbb{R}^d$ via un champ aléatoire. Pour réaliser l’étude macroscopique des fluctuations de $M$, on réalise un "dézoom" sur la configuration de boules. Mathématiquement cela revient à diminuer le rayon moyen tout en augmentant le nombre moyen de centres par unité de volume.

La question a déjà été étudiée lorsque les composantes des triplets (centre, rayon, poids) sont indépendantes et que ces triplets sont engendrés selon un processus ponctuel de Poisson sur $\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}$. On observe alors trois comportements distincts selon le rapport de force entre la vitesse de diminution des rayons et la vitesse d’augmentation de la densité des boules. Nous proposons de généraliser ces résultats dans trois directions distinctes. Tout d'abord, on introduit de la dépendance entre les centres et les rayons et de l’inhomogénéité dans la répartition des centres. Ensuite, nous améliorons les convergences obtenues pour les fluctuations de $M$ (qui étaient au mieux des convergences fonctionnelles en dimension finie) en des résultats de convergence fonctionnelle sur un ensemble de configurations $\mu$ de dimension infinie. Enfin, nous étudierons un modèle engendré par un processus ponctuel déterminantal qui, contrairement au processus ponctuel de Poisson, présente des phénomènes de répulsion entre ses points ce qui permet de modéliser davantage de problèmes physiques.

Hélène Hibon (Université de Rennes 1)

Lundi 1er juin 2015 à 13h - Salle 006

EDSR quadratiques, qu'en dire ?

La résolution d'Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSR) n'est de manière générale pas chose simple.

On dispose cependant de résultats abordables (M2) en ce qui concerne les EDSR de générateur quadratique. Bien qu'étant restrictifs de par la nécessité d'une condition finale bornée, ces résultats que l'on qualifiera de classiques ouvrent la voie à d'avantage de généralité.

La convexité est notamment une voie intéressante à explorer avec les outils qu'elle fournit. Les résultats alors obtenus s'appliquant à la résolution d'EDP, ils démontrent par là-même que les EDSR ne servent pas qu'à faire de la finance...

Eddie Aamari (Université de Paris-Saclay)

Jeudi 21 mai 2015 à 13h - Salle 006

Persistance topologique et estimation de support

Séminaire commun Gaussbusters-Pampers

Lorsqu'on ne connait une forme géométrique qu'à travers un sous-échantillon fini, donner un descripteur quantitatif pertinent basé sur le nuage de points est primordial, notamment dans l'optique d'un apprentissage statistique. Ces descripteurs, souvent locaux ou globaux, souffrent d'un problème de choix d'échelle. Le but de l'exposé sera de présenter des descripteurs topologiques à la fois locaux et globaux: les diagrammes de persistance. Nous verrons comment ceux-ci peut être traité dans un cadre aléatoire via l'estimation du support de variable aléatoire.

Après avoir introduit l'homologie simpliciale, nous présenterons la persistance topologique. Le résultat de stabilité de la persistance permettra ensuite de travailler dans un cadre aléatoire et de faire le lien avec l'estimation de support. On en présentera une ou plusieurs procédures si le temps le permet.

Alexandre Afgoustidis (Université de Paris 6)

Jeudi 07 mai 2015 à 13h - Salle 004-006

Cartes d'orientation du cortex visuel primaire et quelques champs aléatoires gaussiens associés à des représentations de groupe

Séminaire commun Gaussbusters-Landau-Pampers

Dans votre cortex visuel primaire, l'assemblée des neurones se répartit l'information sur ce qu'il y a sous vos yeux, et s'organise pour traiter cette information. Je commencerai par vous dire ce que font les neurones individuellement et pourquoi cela signifie que le cortex procède à une compression par ondelettes, mais mon exposé portera surtout sur l'étonnante géométrie que la plupart des mammifères adoptent pour arranger les "spécialités" des neurones à la surface du cortex en vue du traitement global de l'information. Des expériences récentes ont montré qu'il y a une propriété statistique des singularités cet arrangement (la "densité de pinwheels") dont la valeur expérimentale est mystérieusement commune à toutes les espèces ; cette valeur expérimentale est 3.14 et des poussières...

Après vous avoir dit pourquoi c'est une bonne idée de chercher du côté de la théorie des représentations de groupes de Lie pour parler des modèles qui veulent reproduire cette géométrie, et vous avoir donné quelques exemples d'espaces fonctionnels réalisant des représentations irréductibles de groupes non compacts, je vous expliquerai comment un champ aléatoire gaussien qui reproduit très bien la "géométrie corticale" est caché dans toute représentation unitaire irréductible (de dimension infinie) du groupe des déplacements. Je donnerai plus de définitions qu'aux rencontres d'octobre bien sûr, et je dirai comment le résultat sur la statistique des singularités se rattache aux questions de probabilités sur les ensembles nodaux de processus aléatoires. Quant à savoir pourquoi tous les mammifères ou presque adoptent une géométrie aux propriétés si précises et de quelle façon la perception s'appuie dessus, le mystère restera entier : personne ne sait.

Mac Jugal Nguepedja Nankep (Université de Rennes 1)

Lundi 4 mai 2015 à 13h - Salle 006

Approximation de Processus de Markov à Sauts (PMS) multi-échelles, dans des modèles de réseaux de régulation de gènes.

La dynamique des réseaux de gènes, à une échelle inférieure, se réduit à celle d'un système de réactions chimiques. Partant des idées pionnières de Delbrück (1940), le bruit se modélise, pour de tels systèmes, de façon markovienne ; de manière classique, on suit un PMS dont les sauts se font à différentes échelles. Nous présenterons, dans le cadre homogène, des approximations de tels processus par des solutions d'EDOs et des PDMPs (résultats de type LGN et TCL), et des approximations par des diffusions (théorème de couplage de Komlòs, Major et Tusnády pour des sommes de variables aléatoire i.i.d.).

Benjamin Groux (Université de Lille 1 - Université de Versailles)

Lundi 27 avril 2015 à 13h - Salle 006

Grandes déviations de la mesure spectrale de matrices de covariance à queues sous-gaussiennes

La théorie des matrices aléatoires est née au XXe siècle, motivée par des problèmes physiques et statistiques, et elle est actuellement en plein essor. Après en avoir présenté les problématiques et résultats fondamentaux, on s'intéressera aux deux principaux résultats de grandes déviations existant en matrices aléatoires, dus à Ben Arous et Guionnet d'une part, et Bordenave et Caputo d'autre part. On présentera alors l'extension de ce second résultat aux matrices de covariance.

Jean-Baptiste Boyer (Université de Bordeaux 1)

Lundi 30 mars 2015 à 13h - Salle 006

Produits de matrices aléatoires

Séminaire commun avec Pampers

Je commencerai par énoncer le théorème d'Oseledets qui donne l'existence de "directions propres" pour un produit de matrices aléatoires, et puis un critère pour la positivité du premier exposant. Enfin, j'énoncerai les résultats de loi des grands nombres et grandes déviations qui permettent de quantifier le théorème d'Oseledets.

Guillaume Poly (Université de Rennes 1)

Lundi 23 mars 2015 à 13h - Salle 006

Inégalités gaussiennes et conjectures

Nous passerons en revue certaines inégalités Gaussiennes conjecturées dans la littérature et donnerons quelques éléments de réponse partiels à travers l'utilisation de propriétés simples des semi-groupes et des polynômes d'Hermite.

Florian Bouguet (Université de Rennes 1)

Lundi 9 mars 2015 à 13h - Salle 006

Convergence à l'équilibre de PDMPs utilisés en pharmacocinétique

Les processus de Markov déterministes par morceaux (PDMPs pour l'abréviation anglaise) sont des processus utilisés dans de nombreux domaines de modélisation : informatique, finance, biologie... Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la convergence à l'équilibre d'une certaine classe de PDMPs modélisant l'évolution d'un contaminant chimique dans le corps. D'un côté, le patient ingère des doses de contaminant à un rythme irrégulier et d'un autre côté, son corps essaie de les éliminer. Nous traiterons la convergence en distance de Wasserstein et en variation totale en introduisant des méthodes de couplage adéquates.

Bertrand Cloez (INRA Montpellier)

Lundi 23 février 2015 à 13h - Salle 006

$N$ façons de voir pourquoi le processus d'Ornstein-Uhlenbeck converge rapidement à l'équilibre

Tout est dans le titre, on survolera rapidement les notions suivantes : couplage, fonction de Lyapunov, distance de Wasserstein, en variation totale, entropie, critère $\Gamma_2$ de Bakry-Emery, inégalité fonctionnelle, de Poincaré, de Poincaré locale, de Log-Sobolev, théorie spectrale...

Pierre Houdebert (Université de Lille 1)

Lundi 9 février 2015 à 13h - Salle 006

Modèle de Widom-Rowlinson

Le modèle de Widom-Rowlinson est un modèle qui a été introduit au début des années 1970 pour décrire un système avec deux types de particules gazeuses, dont l'interaction est de type hard-core entre deux particules différentes. Dans mon exposé je vais commencer par introduire le processus ponctuel de Poisson qui est à la base de nombreux modèles de géométrie aléatoire, notamment le modèle booléen poissonien. Ensuite j'introduirai le modèle de Widom-Rowlinson, en commençant dans une fenêtre bornée où il n'y a aucun problème d’existence et d'unicité. Enfin je finirai pas évoquer le cas non borné en énonçant un résultat d'existence.

Olga Lopusanschi (Université de Paris 6)

Lundi 26 janvier 2015 à 13h - Salle 006

Un modèle probabiliste : entre extension centrale et chemins rugueux

L'extension centrale de $\mathbb{R}^{2}$ par $\mathbb{R}$ est le groupe $(\mathbb{R}^{2}\oplus \mathbb{R},\star)$, où le produit de groupe est donné par: $(x,y,z)\star(a,b,c)=(x+a,y+b,c+z+\frac{1}{2}(xb-ya))$. On s'attache à étudier les familles de lois invariantes par $\star$, dont l'exemple le plus important est fourni par le mouvement brownien d'Heisenberg $(X_{t},Y_{t},\mathcal{A}_{t})$, où $(X,Y)$ est un mouvement brownien sur $\mathbb{R}^{2}$ et $\mathcal{A}$ son aire de Lévy. En particulier, on verra que lorsqu'on rajoute un drift à cette dernière composante, on obtient toujours une lois invariante par $\star$. Le même exemple nous permet de faire un lien avec la théorie des chemins rugueux, introduite par Terry Lyons, qui a déjà été utilisée pour étudier l'impact d'une perturbation de l'aire de Lévy sur le processus lui-même.

Pierre Vigué (Université d'Aix-Marseille)

Lundi 12 janvier 2015 à 13h - Salle 004-006

Solutions périodiques d'un système à friction, l'exemple de la corde de violon

Séminaire commun avec Landau et Pampers

Un système régi par une EDP à paramètre, comme la corde frottée d'un violon, admet des solutions périodiques en temps, que l'on peut rechercher sous forme fréquentielle ou temporelle. La continuation de ces solutions, c'est regarder comment ces solutions évoluent selon le choix d'un paramètre (par exemple, la vitesse d'archet, ou la force d'appui de l'archet sur la corde).
Nous verrons sur un modèle simple comment la friction peut être modifiée pour la continuation, et les modifications qualitatives que subit la solution par rapport à la friction de Coulomb. Le choix de la méthode de discrétisation temporelle est souvent propre à chaque communauté, nous comparons ici deux méthodes (la collocation orthogonale aux points de Gauss, et l'équilibrage harmonique) sur le même problème. Enfin, seront évoquées les pistes prochainement suivies pour une étude plus complète de la corde frottée.
Aucun pré-requis de mécanique ou de méthodes numériques n'est nécessaire pour suivre cet exposé.

Mots-clés : continuation, Asymptotic Numerical Method, systèmes dynamiques non linéaires

Camille Horbez (Université de Rennes 1)

Mardi 9 décembre 2014 à 14h30 - Salle 004-006

Marches aléatoires sur $Out(F_N)$ et groupes d'automorphismes de produits libres

Soutenance de thèse

L'exposé sera consacré à une version de l'alternative de Tits pour le groupe des automorphismes extérieurs d'un produit libre. Un théorème de Grushko affirme que tout groupe de type fini admet une décomposition en un produit libre de la forme $G_1\ast...\ast G_k\ast\mathbb F_n$, où chacun des $G_i$ est non trivial, non isomorphe à $\mathbb{Z}$, et librement indécomposable. Je montre que si chacun des groupes $G_i$ et $Out(G_i)$ satisfait l'alternative de Tits, alors il en est de même de $Out(G)$. Ceci a des applications notamment aux groupes d'automorphismes de groupes d'Artin à angles droits. La démonstration de mon théorème repose sur des techniques issues à la fois de la géométrie des groupes et de la théorie des marches aléatoires sur les groupes. Je les présenterai dans le cadre de la preuve de l'alternative de Tits pour le groupe modulaire d'une surface compacte orientable, et expliquerai comment les arguments se généralisent au contexte des groupes d'automorphismes de produits libres.

Rémi Catellier (Université de Rennes 1)

Lundi 08 décembre 2014 à 13h - Salle de la bibliothèque

Moyennisation le long de courbes irrégulières et régularisation d'équations différentielles ordinaires

Séminaire commun avec Landau

Nous cherchons à étudier l’équation différentielle $dx_t=b(t,x_t)dt+dw_t$ lorsque $w$ est une fonction continue et $b$ un champ de vecteurs irrégulier. Dans ce cadre, nous souhaitons quantifier les propriétés de régularisation de perturbations $w$ arbitraires sur l’existence et l'unicité de solutions de cette équation. Pour cela nous introduisons la notion de $(\rho,\gamma)$-irregularité et montrons qu'elle joue un rôle fondamental dans des phénomènes de régularisation par le bruit. Lorsque $w$ est distribué suivant la loi du mouvement brownien fractionnaire de paramètre de Hurst $H\in(0,1)$, nous montrons que presque sûrement l’équation différentielle admet une unique solution lorsque $b$ est dans l’espace de Besov-Hölder $B^{\alpha+1}_{\infty,\infty}$, avec $\alpha\geq−1/2H$. Il est intéressant de noter que lorsque $\alpha+1\leq0$, bien que le champ de vecteurs $b$ soit une distribution, nous fournissons un cadre naturel pour des solutions dans ce cas.

Julien Reygner (Université de Paris 6 - ENPC)

Lundi 17 novembre 2014 à 13h - Salle 006

Particules collantes multitypes et systèmes hyperboliques d'EDP non-linéaires

Séminaire commun avec Landau

Brenier et Grenier ont introduit un système de particules, appelé dynamique des particules collantes, permettant d'approcher la solution entropique de lois de conservation scalaires dont la donnée initiale est une fonction de répartition. Nous définissons une version multitype de cette dynamique, qui permet cette fois d'approcher les solutions de systèmes hyperboliques diagonaux. En étudiant l'évolution de cette dynamique, nous obtenons des estimations de stabilité en distance de Wasserstein généralisant au cas des systèmes des résultats de Bolley, Brenier et Loeper pour les lois de conservation scalaires.

Travail en collaboration avec Benjamin Jourdain et Régis Monneau.

Richard Éon (Université de Rennes 1)

Lundi 3 novembre 2014 à 13h - Salle 006

Equation de Langevin avec petites perturbation browniennes ou $\alpha$-stables

On s’interesse à des équations attractives pour lesquelles il y a un point d'équilibre, que l'on perturbe de façon aléatoire à leur point d'équilibre. Considérant cette équation comme directeur de la vitesse d’une particule, le but de mon exposé sera de vous montrer ce qu’il se passe lorsque le bruit disparait, pour la vitesse et la position de la particule, dans le cas où le bruit est brownien puis $\alpha$-stable.

Julie Bessac (Université de Rennes 1)

Lundi 20 octobre 2014 à 14h - Salle 004-006

Sur la construction de générateurs aléatoires de conditions de vent

Soutenance de thèse

Dans cette thèse, nous construisons des modèles stochastiques qui simulent des séries temporelles de vent au large de la Bretagne avec des propriétés statistiques similaires à celles des données ayant servi à calibrer le modèle. Des modèles à variables latentes sont introduits : un système linéaire gaussien et des modèles auto-régressifs à changements de régimes markoviens. Dans les deux cas, la variable latente modélise les conditions à l'échelle régionale et la variable observée représente le vent à l'échelle locale. Le premier modèle proposé reproduit les déplacements moyens spatio-temporels des observations de vitesses de vent. Dans un second temps les coordonnées polaires et cartésiennes du vent sont considérées et modélisées par des modèles à changements de régimes afin de reproduire le comportement instantané des données.

Grégoire Véchambre (Université d'Orléans)

Lundi 6 octobre 2014 à 13h - Salle 006

Temps local d'une diffusion en milieu aléatoire

La convergence en loi d'une diffusion en milieu aléatoire unidimensionnelle est déjà connue dans le cas d'un milieu brownien et d'un milieu brownien drifté. La convergence en loi du supremum du temps local, et du point où ce supremum est atteint (dit le point favori), a été établie, dans le cas d'un environnement brownien par Andreoletti et Diel.
Avec Andreoletti, nous avons étudié le cas où le milieu est un mouvement brownien $\kappa$-drifté avec $\kappa\in(0,1)$. Nous avons montré la convergence de la somme d'une certaine suite iid, construite à partir de la diffusion, vers un subordinateur. En exprimant les quantités d'intérêt (le supremum du temps local, le point favori,...) comme des fonctions continues de cette suite iid, nous avons obtenu leur convergence en loi à l'aide du continus mapping theorem.

Camille Horbez (Université de Rennes 1)

Jeudi 18 septembre 2014 à 13h - Salle 006

Automorphismes aléatoires

Séminaire commun avec Pampers

Des travaux classiques, dus en grande partie à Furstenberg, permettent de comprendre le comportement asymptotique d'un produit aléatoire $X_n ... X_1$ de matrices $X_i$ indépendantes et identiquement distribuées. On peut s'intéresser d'une part au comportement asymptotique de la norme d'un tel produit, d'autre part à la croissance des vecteurs de $R^N$ sous l'effet d'un tel produit. Autrement dit, si $v$ est un vecteur non nul de $R^N$, que peut-on dire du comportement asymptotique de la norme du vecteur $X_n...X_1v$ ?
De manière analogue, je m'intéresserai à la croissance des éléments d'un groupe libre $F_N$ sous l'action d'un produit aléatoire d'automorphismes (extérieurs) de $F_N$, et donnerai des énoncés similaires dans ce contexte.
Je m'intéresserai également au comportement asymptotique d'un produit aléatoire d'isométries d'un espace métrique, et introduirai pour cela la notion d'horofrontière d'un espace métrique. J'énoncerai dans ce contexte un théorème dû à Karlsson et Ledrappier, et expliquerai le lien avec la question précédente des automorphismes aléatoires de $F_N$.