Exposés de l'année 2015/2016

Valentin Resseguier (INRIA Rennes, Ifremer)

Lundi 20 juin 2016 à 14h - Salle 234 (tour de maths)

Fluid dynamics models based on stochastic flows

Joint work with Etienne Mémin (Inria) and Bertrand Chapron (Ifremer)

Ensemble forecasting and filtering are widely used in geophysical sciences for numerical weather forecasting and climate projection application. In practice to be efficient these methods require an accurate physical modeling of the dynamical model errors. These errors evolve along time and strongly interact with the large-scale state variables of interest. The generic design of large-scale geophysical models incorporating errors or uncertainty is consequently far from being an easy task. To address this issue, we propose to model the unresolved velocity (the errors or uncertainties) of our fluid dynamics system by a divergence free Gaussian process, correlated in space but uncorrelated in time. Within this simple assumption, the material derivative -- the derivative along the flow trajectory -- of a tracer, has to be modified. Indeed, the Ito-Wentzell formula (also known as generalized Ito formula) is used instead of the chain rule. Compared to a usual transport equation, three new terms appear in this expression: a drift correction, an inhomogeneous and anisotropic diffusion and a multiplicative noise. These three terms are strongly linked together, which ensures desired properties such as energy conservation.
With this stochastic version of the transport equation, it is possible to express the fundamental conservation laws of classical mechanics and to derive stochastic versions of a priori any fluid dynamics models. Following this procedure, we have derived and simulated a stochastic version of the Surface Quasi-Geostrophic (SQG) model. We have shown that the realizations of this stochastic version allows us to better resolve the small-scales in comparizon to the usual SQG model. Besides, we have evidenced that an ensemble of realization was able to accurately estimate at each time step the amplitudes and positions of the model errors in both spatial and spectral domains. In comparison a classical randomization of the initial state leads though having a similar error repartition to an underestimation of one order of magnitude. Our ensemble also succeeded to predict density skewness and extreme events of the tracer at small scales. The talk will explicit our stochastic version of the material derivative and comment the numerical results obtained.

Benjamin Groux (Universités de Versailles & Lille 1)

Lundi 13 juin 2016 à 14h - Salle 006

Comportement en temps long dans l'équation de Fokker-Planck libre avec un potentiel non convexe

Séminaire commun Gaussbusters-Landau

On considère l'équation de Fokker-Planck libre $\frac{\partial \mu_t}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} \left[ \mu_t \left( \frac12 V' - H\mu_t \right) \right]$, où $H$ désigne la transformée de Hilbert et $V$ un potentiel confinant. Dans le cas où ce potentiel est convexe, il est connu que cette EDP avec singularité admet une unique solution $(\mu_t)$ convergeant quand $t \to \infty$ vers la mesure d'équilibre associée au potentiel $V$. On s'intéresse ici au comportement asymptotique de la solution dans le cas d'un potentiel non convexe, plus précisément $V(x) = \frac14 x^4 + \frac{c}{2} x^2$ avec $c<0$. Le résultat obtenu fait intervenir des techniques de probabilités libres et de polynômes orthogonaux.
Ce travail a été effectué en collaboration avec Catherine Donati-Martin et Mylène Maïda.

Richard Eon (Université de Rennes 1)

Lundi 6 juin 2016 à 14h - Salle 006

Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les processus de Lévy (avant ma thèse)

Exposé introductif sur les processus de Lévy.

Olga Lopusanschi (Université de Paris 6)

Lundi 9 mai 2016 à 14h - Salle 006

Une construction de l'aire de Lévy avec drift comme limite renormalisée des chaînes de Markov sur graphes périodiques

On connaît des exemples de processus de comportement différent qui, après la même renormalisation à une constante multiplicative près, convergent tous en loi vers le mouvement brownien. Mais est-ce vraiment la même limite ? De fait, dans la topologie uniforme, le passage à la limite « efface » une partie des informations sur la suite des processus qu’on considère, ce qui empêche souvent, par exemple, d’approcher la solution d’une équation différentielle par une suite de solutions d’équations différentielles. Introduite par Terry Lyons dans les années ’90, la théorie de chemins rugueux résout ce problème en « enrichissant » un chemin ordinaire de plusieurs niveaux, en fonction de la régularité $\alpha$ de celui-ci, pour permettre d’enregistrer toutes les informations pertinentes. Dans le cas particulier où $1/3<\alpha\leq 1/2$, on ne retient que deux niveaux : les incréments du chemin et l’aire qu’il accumule. C’est au niveau de cette aire que la différence entre les limites de deux processus, invisible dans le cadre de la topologie uniforme, peut apparaître lorsqu’on passe en topologie rugueuse. Notamment, dans le cas de la convergence des trajectoires vers un mouvement brownien, le deuxième niveau du chemin rugueux limite peut contenir, hormis l’aire correspondante (l’aire de Lévy), un drift non nul. Dans le cadre des chemins rugueux, l’aire de Lévy a été surtout étudiée pour son importance dans la convergence des solutions d’équations différentielles (par Lejay et Lyons, par exemple). Mais un certain nombre de questions liées à la convergence de processus se posent également : comment le drift d’air se forme-t-il ? quelle est sa formule explicite ? quelles sont les conditions pour qu’il soit nul ? etc. On essaie de répondre partiellement à ces questions en étudiant différents modèles. Un article de 2008 de Breuillard, Friz et Huesmann montre, en particulier, que l’aire limite n’a pas de drift dans le cas de sommes de variables aléatoires centrées i.i.d. On utilise ce résultat pour aller un peu plus loin et étudier la limite de chaînes de Markov sur les graphes périodiques, et surtout la manière dont le drift d’aire est susceptible de se constituer pour cette classe de processus.

Tristan Haugomat (Université de Rennes 1)

Lundi 21 mars 2016 à 13h - Salle 006

Sur les processus de type Lévy

Nous introduirons la notion de processus de Levy comme généralisation du mouvement brownien. Nous nous intéresserons à leurs interprétations probabilistes, leurs constructions et donnerons quelques exemples. Ensuite nous allons nous poser la question de la localisation en temps et en espace des processus de Levy et voir quelques résultats d'existence et d'unicité.

Aline Marguet (Ecole Polytechnique)

Lundi 14 mars 2016 à 13h - Salle 016

Échantillonnage dans des populations branchantes structurées : comprendre les mécanismes du vieillissement cellulaire.

On s’intéresse à l’évolution d’une population de cellules. Chaque individu dans la population est caractérisé par un trait (son âge, sa taille, le nombre de parasites, …) qui évolue au cours du temps et qui détermine la dynamique de la cellule (sa durée de vie, son nombre de descendants,…). Lorsqu’on échantillonne un individu uniformément au temps $t$, on cherche à connaître son trait et l’histoire de son trait le long de sa lignée ancestrale. On présentera dans un premier temps le processus de Markov branchant utilisé pour décrire la population, puis on donnera des résultats asymptotiques sur le processus donné par le trait d’un individu échantillonné uniformément au temps $t$ lorsque $t$ tend vers l’infini.

Pierre Monmarché (Université de Neuchâtel)

Lundi 22 février 2016 à 15h - Salle 004-006

Les valeurs propres sont dans Laplace

Séminaire commun Gaussbusters-Landau-Pampers

Le laplacien, on connaît. Son spectre étend son ombre sur des problèmes d’origines diverses, dont nous ferons un tour d’horizon non exhaustif : géométrie, EDP, optimisation, probabilité… On s’attardera notamment sur son lien avec les notes de musique, ce qui expliquera leur nombre de 12 et le lien profond entre l’analyse harmonique et l’harmonica.

Eric Miqueu (Université de Bretagne Sud)

Lundi 8 février 2016 à 13h - Salle 006

Petites probabilités, moments harmoniques et grandes déviations précises pour un processus de branchement en environnement aléatoire

Un processus de branchement en environnement aléatoire $(Zn)$ est une généralisation du processus de Galton-Watson, où la loi de reproduction des individus est choisie aléatoirement parmi un ensemble de lois et de manière i.i.d. suivant les générations. Dans le cas surcritique où la population a une probabilité non nulle d’explosion, les recherches actuelles se sont focalisées sur les grandes déviations. Deux sujets connexes concernent l’asymptotique des moments harmoniques de $Zn$ et l’asymptotique des petites valeurs prises par le processus. L’exposé sera consacré à l’étude de ces deux problèmes ainsi qu’à leur lien avec les grandes déviations.

Florian Bouguet (Université de Rennes 1)

Lundi 18 janvier 2016 à 13h - Salle 006

Autour d'un processus de Markov déterministe par morceaux utilisé en pharmacocinétique

Nous nous intéressons à un processus de Markov introduit (dans le monde mathématique) par Bertail, Clémençon et Tressou en 2008, représentant l'évolution dans le corps d'un contaminant chimique présent dans la nourriture. La dynamique de ce processus résulte d'absorptions de contaminant en quantités aléatoires à des instants aléatoires, que le corps essaie d'éliminer. Après avoir présenté des techniques de couplage permettant d'étudier sa vitesse de convergence à l'équilibre dans des distances classiques, nous verrons dans quels autres cadres il est intéressant de considérer ce processus.

Richard Eon (Université de Rennes 1)

Lundi 14 décembre 2015 à 13h - Salle 006

Etude des queues de distributions de mesures invariantes : application à la solution de l’équation de Langevin avec bruit brownien ou alpha-stable

Dans de nombreux problèmes de probabilités, l’obtention de l’ergodicité et de l’existence de mesures invariantes ont bien été étudiés. Néanmoins, pour de nombreuses estimations, connaitre le comportement asymptotique de cette mesure est important. Nous verrons donc d’abord les résultats généraux connus dans le cas brownien. Puis nous verrons ce qui peut s’appliquer dans le cas des processus de Lévy. Enfin, on utilisera ces résultats dans le cadre des équation de Langevin.

Thibaut Mastrolia (Université Paris-Dauphine)

Lundi 30 novembre 2015 à 13h - Salle 006

Régularité de solutions d’Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades

Dans cet exposé, nous donnerons des conditions assurant que des solutions d’EDS Rétrogrades admettent des densités par rapport à la mesure de Lebesgue en utilisant le calcul de Malliavin. Nous fournirons également des estimations de ces densités en utilisant la formule de Nourdin-Viens. En analysant plus profondément les conditions nous assurant que nous pouvons dériver au sens de Malliavin les processus solutions d’une EDSR, nous fournirons une nouvelle caractérisation des espaces de Malliavin-Sobolev et nous donnerons une structure interne de ces espaces.

Les notions principales de cet exposé (EDSR, calcul de Malliavin) seront rappelées pour la compréhension de tous.

Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Peter Imkeller, Dylan Possamaï et Anthony Réveillac.

Ronan Lauvergnat (Université de Bretagne Sud)

Lundi 23 novembre 2015 à 13h - Salle 006

Théorèmes Limites pour une marche Markovienne conditionnée à rester positive

Conditionner une marche aléatoire permet d’y imposer une exigence particulière. Par exemple il semble naturel de modéliser une population qui survit année après année par une marche aléatoire réelle que l’on conditionne à rester positive. Lorsque les accroissements de la population sont supposés i.i.d., on connaît depuis les travaux de Spitzer (1960) et d’Iglehart (1974), d’une part le comportement asymptotique de la probabilité que la population de survive et d’autre part la loi asymptotique de la population sachant qu’elle a survécu.

Après avoir rappelé ces résultats, l’objectif de cet exposé sera de regarder, sur le cas concret de la récursion stochastique, comment adapter les théorèmes lorsque les accroissements ne sont plus considérés i.i.d. mais forment à la place une chaîne de Markov.

Claire Delplancke (Université de Toulouse 3)

Lundi 2 novembre 2015 à 13h - Salle 006

Une approche markovienne du théorème central limite

Le but de nos travaux est de proposer une nouvelle démonstration du théorème central limite pour des variables aléatoires réelles iid, ou de manière plus précise, un théorème à la Berry-Esseen qui mesure la vitesse de convergence dans le TCL pour une certaine distance entre mesures de probabilités. L'originalité de ce travail est de tirer profit de la structure markovienne sous-jacente au cadre du TCL. Nous présenterons une démonstration dans un cas particulier et une conjecture dans le cas général.

Geoffrey Boutard (Université de Lille 1)

Lundi 12 octobre 2015 à 13h - Salle 006

Champs aléatoires stables harmonisables à accroissements stationnaires : comportement trajectoriel et densité spectrale.

Dans cet exposé nous nous proposons de tester une méthodologie par ondelettes dans le cadre de champs aléatoires $\alpha$-stables harmonisables $X=\{X(t),\, t\in\mathbb{R}^d\}$ définis pour tout $t\in\mathbb{R}^d$ par : $X(t)=\mathcal{R}e\left\{\int_{\mathbb{R}^d} \big(e^{it\cdot\xi}-1\big)f(\xi)\,\mathrm{d}\widetilde{M}_{\alpha}(\xi)\right\}$, où $f$ désigne une fonction arbitraire de l'espace $L^{\alpha}(\mathbb{R}^d,1\wedge\left|\! \left| {\xi} \right|\!\right|^{\alpha}\!\mathrm{d}\xi)$, avec cependant un certain contrôle aux hautes et basses fréquences.

Nous établirons des liens entre le comportement local des accroissements de $X$ (y compris les éventuelles propriétés de différentiabilités ou dérivabilités partielles) et la vitesse de décroissance à l'infini de $f$. Puis, nous relierons le comportement de $X$ à l'infini à celui de $f$ en 0. Nous verrons également que les résultats que nous obtenons sont valables sur un événement de probabilité 1 qui est "universel", dans le sens où il ne dépend pas de $f$.

Blandine Dubarry (Université de Rennes 1)

Lundi 5 octobre 2015 à 13h - Salle 006

Existence et unicité de mesure invariante pour des IFSs sur [0,1] en rapport avec les VLMCs

Dans cet exposé, on s'intéressera à la notion de système de fonctions itérées (IFS) probabiliste : c'est quoi ? pourquoi cette notion a-t-elle été introduite ? quand a-t-on une mesure invariante ? C'est principalement sur cette dernière question que l'on s'attardera en regardant les travaux effectués jusqu'à présent et en donnant un critère pour un IFS particulier dans le cas où les probabilités de transition ne nécessitent aucune hypothèse de régularité.

On introduira ensuite les notions de chaîne d'ordre infini et de chaîne de Markov de longueur variable (VLMC). On étudiera alors le lien entre l'IFS précédent et ces deux types de processus, ce qui nous permettra d'établir un nouveau critère d'existence et d'unicité de mesure invariante pour ces deux types de processus.

Maxime Tusseau (Université de Rennes 1)

Lundi 14 septembre 2015 à 13h - Salle 004-006

Schémas de Splitting pour l'équation de Schrödinger Non Linéaire (NLS) stochastique

Séminaire commun Gaussbusters-Landau

Après avoir introduit les notions d'erreur forte et faible pour les équations différentielles stochastiques, nous verrons comment l'équation de Kolmogorov permet d'obtenir l'ordre de nos schémas. Nous utiliserons cette méthode pour étudier l'erreur faible de deux schémas de splitting sur NLS stochastique. Enfin, nous étudierons un dernier schéma d'une équation de type NLS dont la limite diffusive est une équation NLS stochastique.