Positive — Positivité en géométrie arithmétique, algébrique et analytique

Présentation et bibliographie

1. Analogie corps de nombres/corps de fonctions/théorie de Nevanlinna

Expliquer l'analogie entre points algébriques, courbes, morphismes analytiques de courbes affines : hauteurs, degrés, fonctions de comptage.

2. Inégalité tautologique

Démontrer l'inégalité tautologique dans le cadre de morphismes analytiques d'une courbe affine dans une variété projective. En déduire le Second Main Theorem de Nevanlinna. Énoncé des conjectures de Vojta dans le cadre des corps de fonctions et de la théorie de Nevanlinna.

• McQuillan, Michael. Diophantine approximations and foliations. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 87 (1998), 121–174.
• P. Vojta. On McQuillan's ``tautological inequality'' and the Weyl-Ahlfors theory of associated curves
• C. Gasbarri. The strong $ABC$ conjecture over function fields (after McQuillan and Yamanoi)

3. Théorème de Northcott sur les corps de nombres et de fonctions

Il s'agit d'expliquer le théorème de Northcott sur les corps des nombres, puis son analogue sur les corps de fonctions ; en particulier, la relation avec les familles limitées de courbes. Discuter l'isotrivialité des variétés de type général sur un corps de fonctions dont l'ensemble des points rationnels de hauteur bornée est dense.

• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter. Heights in Diophantine geometry. New Mathematical Monographs, 4. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
• Moriwaki, Atsushi. Geometric height inequality on varieties with ample cotangent bundles. J. Algebraic Geom. 4 (1995), no. 2, 385–396.
• Moriwaki, Atsushi. Remarks on S. Lang Conjecture over function fields

4. Le théorème $(2+\epsilon)$ de Vojta, le théorème de Joanoulou et celui de Moriwaki

Démontrer l'inégalite' de type $abc$ de Vojta, avec le facteur $(2+\epsilon)$. En passant, énoncer, voire démontrer, le théorème de Jouanolou sur les feuilletages de codimension 1 possédant beaucoup de feuilles compactes. Théorème de Moriwaki à propos de l'inégalité de type $abc$ sur les variétes à cotangent ample.

• Ghys, Étienne. À propos d'un théorème de J.-P. Jouanolou concernant les feuilles fermées des feuilletages holomorphes. Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 49 (2000), no. 1, 175–180.
• Moriwaki, Atsushi. Geometric height inequality on varieties with ample cotangent bundles. J. Algebraic Geom. 4 (1995), no. 2, 385–396
• Vojta, Paul. On algebraic points on curves. Compositio Math. 78 (1991), no. 1, 29–36.

5. Les théorèmes de Roth, Schmidt et leurs applications classiques

Énoncés des théorèmes de Roth et Schmidt, ainsi que de leurs équivalents dans le cas des corps de fonctions et en théorie de Nevanlinna. Applications : Roth + Mordell-Weil impliquent Siegel ; Schmidt implique Siegel (Corvaja-Zannier).

1. Bombieri, Enrico; Gubler, Walter. Heights in Diophantine geometry. New Mathematical Monographs, 4. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
2. Corvaja, Pietro; Zannier, Umberto. A subspace theorem approach to integral points on curves. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 334 (2002), no. 4, 267–271.

6. Points entiers sur des variétés privées de sections hyperplanes

Il s'agit de présenter les résultats de Corvaja-Zannier, Levin et Autissier concernant la non-densité des points entiers dans le complémentaire d'un nombre suffisant de sections hyperplanes en bonne position.

1. Autissier, Pascal. Sur la non-densité des points entiers. Duke Math. J. 158 (2011), no. 1, 13–27.
2. Corvaja, P.; Zannier, U. On integral points on surfaces. Ann. of Math. (2) 160 (2004), no. 2, 705–726.
3. Levin, Aaron. Generalizations of Siegel's and Picard's theorems. Ann. of Math. (2) 170 (2009), no. 2, 609–655.

7. Le théorème de Bloch

Donner l'énoncé et la preuve du théorème de Bloch: on pourrait en donner deux preuves, une classique et l'autre par McQUillan.

1. Demailly, Jean-Pierre. Algebraic criteria for Kobayashi hyperbolic projective varieties and jet differentials. Algebraic geometry—Santa Cruz 1995, 285–360, Proc. Sympos. Pure Math., 62, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.
2. McQuillan, Michael. A new proof of the Bloch conjecture. J. Algebraic Geom. 5 (1996), no. 1, 107–117.
3. Chambert Loir, Antoine. Courbes entières dans une variété abélienne (d'après un article de M. McQuillan.

8. Les analogues et les exemples de la conjecture abc en caractéristique positive (d'après Kim)

Il s'agit de présenter l'article de M. Kim où il décrit des exemples et des preuves de la conjecture $abc$ sur les corps de fonctions en caractéristique positive.

1. Kim, Minhyong. Geometric height inequalities and the Kodaira-Spencer map. Compositio Math. 105 (1997), no. 1, 43–54. Erratum: Compositio Math. 121 (2000), no. 2, 219.
2. Gasbarri, C. Notes de l'école d'été de géométrie diophantienne (Rennes, 2009)

9. Variétés avec cotangent ample

Il s'agit de montrer les constructions par Debarre et Bogomolov de variétés avec fibré cotangent ample. On montrera aussi la preuve de Moriwaki sur la non-densité des points rationnels de certaines de ces variétés.

1. Debarre, Olivier. Varieties with ample cotangent bundle. Compos. Math. 141 (2005), no. 6, 1445–1459.
2. Moriwaki, Atsushi. Remarks on rational points of varieties whose cotangent bundles are generated by global sections. Math. Res. Lett. 2 (1995), no. 1, 113–118.

Organisateurs

Antoine Chambert-Loir, Carlo Gasbarri, Mathilde Herblot, Christophe Mourougane