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Master de mathématiques de l'université de Rennes 1

Deuxième année : séminaire

Programme des exposés (2006-07)

Liste des exposés proposés en 2006-07

  1. L'espace des cercles dans R3 d'apres Laguerre (Paul Baird) Il s'agit de decrire cette espace comme une quadrique dans l'espace projectif $CP4$. La structure complexe ainsi induite sur l'espace des cercles a des très jolies conséquences pour la géométrie conforme dans R3.
    Référence : P. Baird , conformal foliations by circles and complex isoparametric function son euclidean 3-space, Math. Proc Camb Phil Soc. (1998), vol 123, page 273. (juste la premiere partie de cette article - même s'il s'agit d'une publication de recherche, le travail est vraiment elementaire).
  2. La notion de géodésique sur une surface (Paul Baird) Les géodésiques sont les coubes qui localement minimisent la distance entre deux points. Pour une surface dans R3 il est suffisant que l'accélération de la courbe soit perpendiculaire à la surface; dans une sphère ce sont les grands cercles.
    Référence : B. O'Neill, Elementary Differential Geometry, Academic Press, chapitre 7.
  3. Les transformées de Lorentz et l'espace-temps (Paul Baird) Les lois de la physique sont reunies en introduisant un espace de dimension 4 (l'espace-temps) et la groupe des symetries qui preserve une forme quadratique.
    Reference : Feynman Lectures on Physics, vol 1, chapitre 17
  4. Théorème de Weyl-von Neumann-Berg (Bachir Bekka)
    Il s'agit de l'étude d'invariants unitaires pour des opérateurs. Soit $H$ un espace de Hilbert; deux opérateurs bornés $T$ et $S$ sur $H$ sont dits unitairement équivalents si $S=U^*T U$ pour un opérateur unitaire $U,$ c-à-d $S$ est dans l'orbite de $T$ sous l'action du groupe unitaire. Pour $S$ et $T$ normaux, l'équivalence unitaire peut se lire directement sur les mesures spectrales associées: elleavec même fonctions de mutiplici\'te.
    On peut considérer plusieurs autres notions d'équivalence dans ce contexte; $T$ et $S$ sont dits :
    (i) approximativement unitairement équivalents si $S$ est dans 'adhérence normique de $T$ sous l'action du groupe unitaire.
    (ii) fortement approximativement unitairement équivalents si $S$ est dans 'adhérence normique de $T$ sous l'action du groupe unitaire modulo les opérateurs compacts $S$ pour un opérateur unitaire $U.$
    Dans le cas où $S$ et $T$ sont normaux, il s'avère que (i) et (ii) sont équivalents et le théorème de Weyl-von Neumann-Berg les caractérise en termes spectraux. Une vaste généralisation aux représentations de C*-algèbres est le Théorème de Voiculescu.
    Bibliographie: J. B. Conway: A course in operator theory.
  5. Algèbres de rotations irrationnelles (Bachir Bekka)
    Il s'agit de l'étude d' une C*-algèbre remarquable constituant un des premiers exemples d'``espace non commutatif". (c'est l'algèbre associée au feuilletage de Kronecker sur le tore).
    Soit $\theta$ un nombre irrationnel. Soit $H$ l'espace de Hilbert des fonctions $L2$ sur le cercle $S1$. On considère les deux operáteurs unitaires $U,V$ suivants sur $H:$ $U$ est l'o\'pérateur de multiplication par $z\mapsto z$ $V$ est l'opérateur de translation par $e^{2\pi i\theta}.$ On a alors la relation $(*) UV= e^{2\pi i\theta} VU.$ L'adhérence normique des polynomes $P(U,U^, V, V^*)$ en les variables (non commutatives!) $U,U^, V, V^*$ est une $C^*$-al\`gebre $A_{\theta}$ appelée algèbre de rotations irrationnelles.
    Il s'agit d'établir quelques propri'etes de $A_{\theta}:$
    - $A_{\theta}$ est, à isomorphisme près, l'unique $C* $-algèbre engendrée par deux opérateurs unitaires satisfaisant la relation (*);
    - il y a une unique trace sur $A_{\theta};$
    - déscription des projecteurs dans $A_{\theta}.$
    Bibiographie: K. Davidson: C*-algebras by example.
  6. Le théorème de la forme asymptotique en percolation du premier temps de passage (Daniel Boivin)
    Ce théorème donne des conditions suffisantes pour que la convergence vers la constante de temps soit uniforme par rapport aux différentes directions. Depuis une première version, publiée par Cox et Durrett en 1981, un tel résultat a été obtenu pour plusieurs modèles aléatoires. La version classique de ce théorème pourrait être exposé en séminaire: par exemple, pp. 126 - 140+ de l'article de C. D. Howard donnant une vue général du sujet.
    Référence : Howard, C.Douglas Models of first-passage percolation. Kesten, Harry (ed.), Probability on discrete structures. Berlin: Springer. Encycl. Math. Sci. 110(1), 125-173 (2004).
  7. Limite semi-classique de l'équation de Schrödinger non-linéaire (François Castella)
    Il s'agit d'étudier la limite semi-classique de l'équation de Schrödinger non-linéaire avec donnée initiale fortement oscillante, et nonlinéarité arbitraire, régulière. Cette équation intervient dans de nombreux contextes de la physique (propagation de laser, typiquement). L'article fait un calcul complet de l'asymptotique semi-classique avant la focalisation, au prix d'estimations d'énergie simples, mais en faisant usage d'une phase dépendant du paramètre semi-classique, ce qui constitue l'idée clé de cet article.
    Grenier, E, "Semiclassical limit of the nonlinear Schroedinger equation in small time", Proc. Amer. Math. Soc. 126 (1998), no. 2, 523--530.
  8. Modèle de Lotke-Volterra et migrations (François Castella)
    Il s'agit d'etudier un systemes de predateurs et de proies interagissant d'une part a travers une dynamique predateur-proie 'classique', et dles des predateurs et des proies, correspondant a une repartition de l'espace entre zones plus ou moins envahies par les predateurs (et donc plus ou moins exposees au danger pour les proies). Une analyse de type 'variete centrale' permet de reduire quelque peu le modele complet, et d'en deduire certaines proprietes qualitatives du systeme.
    Poggiale, J. C., "Lotka-Volterra's model and migrations: breaking of the well-known center. Aggregation and emergence in population dynamics". Math. Comput. Modelling 27 (1998), no. 4, 51--61.
  9. fonctions dans la classe de Nilsson (Dominique Cerveau)
    Petite partie d'un cours de Frédéric Pham a Hanoi
  10. Battages de cartes (Antoine Chambert-Loir)
    Prenez un jeu de cartes, séparez-le en deux tas «au hasard» et mêlez les tas l'un à l'autre, toujours «au hasard» en prenant garde à ce que la position respective des cartes de chaque tas reste inchangée : c'est ce qu'on appelle un battage. La question naturelle est la suivante : quelle est la répartition des cartes au bout d'un battage ? de beaucoup de battages ? La réponse relève essentiellement de la combinatoire élémentaire, et a des rapports avec quelques propriétés du groupe symétrique. L'étude de la convergence vers l'équilibre et d'une chaîne de Markov reliée au problème intéressera peut-être plus les probabilistes.
    Référence : Trailing the Dovetail Shuffle to its Lair, D. Bayer & P. Diaconis, Annals of Applied Probability 2 (1992), 294-313.
    11. Logarithme discret dans les groupes génériques (Antoine Chambert-Loir)
    Le problème du logarithme discret est le suivant, où un groupe fini G et un élément g de G sont fnt h de G, trouver a tel que g=h^a ou dire qu'il n'en existe pas. On connaît (et l'exposé décrira) des algorithmes pour résoudre ce problème de complexité en temps de l'ordre de la racine carrée de l'ordre de G; Shoup a démontré que dans un groupe &oguil;générique&eguil;, il n'y en a pas de substantiellement meilleur.
    Référence : V. Shoup, Lower bounds for discrete logarithms and related problems, Advances in cryptology---EUROCRYPT '97, Lecture Notes in Comput. Sci., vol. 1233, Springer, Berlin, 1997, p. 256--266.
  11. Comment mesurer les surfaces ? (Christophe Cheverry)
    Il s'agit de découvrir les notions mathématiques issues du problème de la mesure des surfaces : du calcul infinitésimal, en passant par la théorie de l'intégration et la géométrie fractale, jusqu'au traitement de l'image. L'étudiant devra se familiariser avec ces idées et, le cas échéant, poursuivre ses investigations dans une direction de son choix.
    Bibliographie : Texte d'Yves Meyer paru à la Gazette des mathématiciens (juillet 2006).
  12. Interpolation (Christophe Cheverry)
    Il s'agit d'apprendre, de comprendre les preuves et d'étudier quelques applications des théorèmes d'interpolation de Riesz-Thorin et de Marcinkiewicz. Ce thème combine des outils d'analyse fonctionnelle et d'analyse complexe.
    Bibliographie : le livre (en anglais) "Interpolation Spaces, an introduction" de J. Bergh et J. Lofstrom.
  13. Flot de Cherry (Yves Coudène)
    Construction d'un flot defini sur le tore de dimension 2 qui possede un unique ensemble invariant de type "fractal".
    Reférence
    Katok-Hasselblatt, p. 464
  14. Le critère de Beale-Kato-Majda (Taoufik Hmidi)
    C'est un critère d'existence globale de solutions régulières pour Navier-Stokes comme pour Euler et qui dit que l'apparition de singularités en temps fini est liée à un phénomène de concentration de la norme $L^\infty$ du tourbillon.
  15. Métrisabilité de certains espaces affines analytiques (Bernard Le Stum)
    Il s'agit juste de lire un papier de Mainetti et de comprendre ce qu'il raconte. Voilà la référence :
    Maïnetti, Nicolas. Metrizability of some analytic affine spaces. $p$-adic functional analysis (Ioannina, 2000), 219--225, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 222, Dekker, New York, 2001.
  16. Injections de Sobolev (Roger Lewandowski)
    Ce sujet porte que la question des injection de Sobolev et la régularité du domaine. Dans Brézis [HB], on montre que lorsque $p<N$ et $\Omega$ est un ouvert borné dont la frontière est de classe $C^1$, l'espace $W^{1, p} (\Omega)$ s'injecte dans $L^q (\Omega)$ pour $q \in [1, p^\star]$, avec ${1/ p^\star} = {1 /p} - {1/N}$, l'injection étant compacte lorsque $q<p^\star$.
    Dans Adams [AD], on considère la question des injections de Sobolev dans le cas où la frontière de l'ouvert $\Omega$ est Lipchitzienne et lorsque que $\Omega$ vérifie une propriété dite de "cône".
    Dans cet exposé, on montrera le Théorème d'injections de Sobolev dans le cas d'un ouvert dont la frontière est $C^1$ pour commencer. Ensuite, on montrera un résultat analogue mais pour des ouverts dont la frontière est seulement Lipchitz et qui vérifient la condition de "cône".
    Références :
    [HB] H. Brézis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications, Masson, 1983.
    [AD] R. A. Adams, Sobolev spaces, Academic Press, 1975.
  17. Une courbe peu courbée n'est pas nouée (Jean-Marie Lion)
    Fary, Fenchel et Milnor ont montré qu'un lacet de l'espace dont la courbure totale est inférieure à 4pi n'est pas noué et borde un disque différentiablement plongé dans cet espace. L'objet de l'exposé est de présenter une démonstration de ce théorème qui repose sur des arguments simples de géométrie intégrale.
    Bibliographie.
    Istvan Fary, Sur la courbure totale d'une courbe gauche faisant un noeud, Bulletin de la SMF 77, 128-138 (1949)
    John Milnor, On the Total Curvature of Knots, Annals of Mathematics 52, 248-257 (1950)
  18. Explosion de la solution de l'équation de la chaleur semi-linéaire (Florian Mehats)
    En reproduisant un phénomène bien connu pour les équations différentielles ordinaires, la solution de l'équation aux dérivées partielles u_t-\Delta u = u^p peut n'exister que sur un intervalle de temps fini : on parlera d'explosion en temps fini. On mettra cela en évidence de plusieurs façons par des arguments simples.
    Référence : livre de L. C. Evans, Partial Differential Equations.
  19. Le théorème de Malgrange-Ehrenpreis (Francis Nier)
    On donnera une démonstration de ce théorème classique de la théorie des distributions qui dit qu'un opérateur différentiel à coefficients constants admet toujours une solution élémentaire.
    Référence : J. Chazarain, A. Piriou Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires, Bordas (Dunod), Paris, 1981.
  20. Probabilités non commutatives : le théorème de Gleason (Dimitri Petritis)
    Il est bien connu que la notion d'espace de probabilité $(\O espace abstrait, $\mathcal{F}$ une tribu de parties de $\Omega$ et $\mathbb{P}$ une mesure de probabilité, introduite par Kolmogorov \cite{Kolmogorov}, fournit le cadre naturel pour décrire les probabilités classiques. Les probabilités quantiques sortent du cadre de Kolmogorov car elles sont définies sur des treillis orthocomplémentés $\sigma$-complets non nécessairement distributifs. Une réalisation concrète de ce type des treillis est donnée par la famille de sous-espaces (fermés) d'un espace de Hilbert réel ou complexe séparable. Le théorème de Gleason donne une caractérisation des mesures sur ce treillis en termes d'opérateurs à trace.
    Le but de ce séminaire est de comprendre la démonstration de ce théorème, donnée soit dans le livre de Varadarajan, soit dans le livre de Parthasarathy.
  21. Estimations de De Giorgi - Nash - Moser des solutions d'equations elliptiques (Julien Vovelle)
    La methode de De Giorgi - Nash - Moser pour montrer la régularité Hölder de solutions d'équations elliptiques est élémentaire et subtile ; il s'agit de la découvrir.
    Référence : Taylor, Partial Differential Equations III, Nonlinear Equations, pp 169 -- 174.
  22. Traces spectrales et matricielles (Dimitri Yafaev)
    Les définitions de trace et de determinant bien connues pour les opérateurs dans l'espace de dimension finie admettent les généralisations non-triviales aux opérateurs dans l'espace de dimension infinie. Le théorème de Lidskii est un résultat profond qui affirme que les traces spectrales et matricielles coincident.
    Bibliographie :
    1. I. C. Gokhberg and M. G. Kre\u{\i}n, Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators in Hilbert space, Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1970.
    2. B. Simon, Trace ideal methods London Math. Soc. Lecture Notes, Cambridge Univ.Press, London and New York, 1979.
  23. Simulation exacte d'une chaîne de Markov (Jian-Feng Yao)
    Thème : probabilités appliquées
  24. Méthode de Bootstrap (Jian-Feng Yao)
    Thème : statistique

Liste des exposés proposés en 2005-06

Liste des exposés proposés en 2004-05

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