Master de mathématiques de l'université de Rennes 1
Deuxième année
Programme des exposés (2005-06)
Vendredi 6 janvier
Mardi 10 janvier
Mercredi 11 janvier
Jeudi 12 janvier
Vendredi 13 janvier
Liste des exposés proposés en 2005-06
- Forme limite d'un modèle de croissance aléatoire
(Jean-Baptiste Bardet)
On veut étudier un modèle simple de croissance, associé à la percolation de dernier passage. On insistera en particulier sur le lien avec une chaine de Markov à temps continu, pour laquelle le problème initial revient à démontrer une loi des grand nombres.
Référence : H. Rost, Non-equilibrium behaviour of a many particle process : density profile and local equilibria, Z. Wahrsch. Verw. Gebiete 58 (1981), no. 1, 41-53. - Transition de phase pour le modèle d'Ising en dimension 2
(Jean-Baptiste Bardet)
Il s'agira de présenter (avec le moins de formalisme possible) l'argument de Peierls sur l'existence d'une transition de phase dans le modèle d'Ising en dimension 2. Cet argument combinatoire est un passage obligé dans l'application des probabilités à la mécanique statistique. On pourra aussi mettre en valeur la différence avec le comportement en dimension 1.
Référence : Section 6.2 de H.O. Georgii, Gibbs Measures and Phase Transitions. - Congruences sur le nombre de solutions de certaines équations
polynomiales, d'après Chevalley-Warning, Ax et Katz
(Pierre Berthelot)
Un théorème classique de Chevalley-Warning affirme que, si k est un corps fini à q = pa élements, et f un polynôme en n variables à coefficients dans k, de degré d < n, alors le nombre de solutions de l'équation f(x1,...,xn) = 0 à valeurs dans k est divisible par p. Ce théorème a été ensuite renforcé et généralisé par Ax et Katz. On donnera d'abord une démonstration du théorème de Chevalley-Warning par la théorie élémentaire des corps finis, puis on expliquera comment les méthodes de l'analyse p-adique (fonctions analytiques, déterminants de Fredholm) permettent d'obtenir des résultats plus complets.
Références :- J. Ax, Zeroes of polynomials over finite fields, American Journal of Mathematics 86 (1964), 255-261.
- N.M. Katz, On a theorem of Ax, American Journal of Mathematics 93 (1971), 485-499.
- Proofs from the Book
(Antoine Chambert-Loir)
Il s'agit de choisir un chapitre de ce livre merveilleux et de l'exposer. - Battages de cartes
(Antoine Chambert-Loir)
Prenez un jeu de cartes, séparez-le en deux tas «au hasard» et mêlez les tas l'un à l'autre, toujours «au hasard» en prenant garde à ce que la position respective des cartes de chaque tas reste inchangée : c'est ce qu'on appelle un battage. La question naturelle est la suivante : quelle est la répartition des cartes au bout d'un battage ? de beaucoup de battages ? La réponse relève essentiellement de la combinatoire élémentaire, et a des rapports avec quelques propriétés du groupe symétrique. L'étude de la convergence vers l'équilibre et d'une chaîne de Markov reliée au problème intéressera peut-être plus les probabilistes.
Référence : Trailing the Dovetail Shuffle to its Lair, D. Bayer & P. Diaconis, Annals of Applied Probability 2 (1992), 294-313. - Quelques résultats mathématiques en mécanique des fluides
(Christophe Cheverry).
On insistera sur l'étude du problème de Cauchy pour les équations d'Euler ou de Navier-Stokes.
Référence : Cours de l'Ecole d'été de Mathématiques Dynamique des équations aux dérivées partielles non linéaires, juillet 2005. - Propagation des rayons lumineux
(Christophe Cheverry).
La propagation d'un rayon lumineux obéit à deux principes :- Le point de vue Lagrangien (ou principe de Fermat) selon lequel le trajet minimise une certaine fonctionnelle d'énergie.
- Le point de vue Eulérien qui interprète les choses comme un phénomène electromagnétique, la propagation étant décrite par l'évolution en temps des solutions d'un système hyperbolique quasilinéaire (les équations dites de Maxwell).
Références : Lectures on Geometric optics par Jeffrey Rauch au Mittag-Leffler Institut and KTH de Stockholm, 1997. - Méthode « spline-trig »
pour les équations intégrales de frontière
(Martin Costabel)
Les méthodes de Petrov-Galerkin pour la discrétisation d'équations intégrales utilisent des espaces différents pour l'approximation de la solution et pour les fonctionnelles test. On a observé que le taux de convergence maximal possible dépend de la régularité des fonctions test et qu'on peut obtenir des taux arbirairement élevés sans augmenter la complexité de l'algorithme en choisissant des fonctions test régulières. Pour le cas d'équations intégrales de frontière en dimension deux, Doug Arnold a montré qu'on peut même obtenir convergence exponentielle pour une simple approximation par des splines, si on choisit des polynômes trigonométriques comme fonctions test.
Référence. D. N. Arnold: A spline-trigonometric Galerkin method and an exponentially convergent boundary integral method, Math. Comp. 41 (1983), 383-397. - Corps p-adiques et théorème de Hasse-Minkowski
(Antoine Ducros)
Il s'agit dans une première partie de définir les corps des nombres p-adiques, puis de démontrer qu'une forme quadratique à coefficients rationnels qui a un zéro non trivial dans chacun des corps p-adiques et dans R, elle a un tel zéro dans l'ensemble des nombres rationnels. - Comment la régularité du domaine et de la donnée au bord agissent sur la régularité de la solution de l'équation de Laplace
(Roger Lewandowski)
- On commence par prouver que lorsque l'ouvert est de classe C2 et borné et que le second membre dans L2 alors la solution du problème de Laplace avec donnée homogène est dans L2.
- On prouve que lorsque l'ouvert est de classe Cm+2 et borné et que le second membre dans HM, alors la solution du problème de Laplace avec donnée homogène est dans Hm+2.
- On prouve ensuite que lorsque l'ouvert est convexe borné et Lipschitizien et que le second membre dans L2, alors la solution du problème de Laplace avec donnée homogène est dans H2.
- On exhibe un contre exemple de ces résultats de régularités dans le cas d'un ouvert non convexe.
- H. Brézis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et Applications, Masson, 1993.
- P. Grisvard, Elliptic problems in non smooth domains, Pitman, 1985.
- Théorème d'uniformisation de Riemann
(Jean-Marie Lion)
- Théorème de Wigner
(Florent Malrieu)
L'objet de ce théorème est l'étude du spectre de matrices aléatoires de grande taille. Il établit que la mesure empirique des valeurs propres d'une matrice aléatoire symétrique converge (quand la taille de la matrice tend vers l'infini) vers une mesure parfaitement identifiée : la loi du demi-cercle. Ce résultat célèbre joue un rôle très important en physique, mais aussi dans une nouvelle branche de la théorie des probabilités que sont les probabilités libres.
Éléments de bibliographie : Bai dans Statistica Sinica 9 (1999), Methodologies in spectral analysis of large dimensional random matrices, a review. -
Processus d'Orsntein-Uhlenbeck
(Florent Malrieu)
L'idée est de construire et d'étudier un modèle décrivant la trajectoire d'une particule de pollen dans un verre d'eau. On s'interessera aux diverses approches proposées au cours du vingtième siècle puis on étudiera le processus d'Ornstein-Ulhenbeck : ses propriétés markoviennes, sa convergence à l'équilibre etc... On ne sort pas ici de la classe des processus gaussiens, ce qui permet de rester à un niveau élémentaire, tout en présentant des idées qui pourront se généraliser à l'étude de nombreux processus.
Éléments de bibliographie : livre de Nelson en ligne; Royer : Une initiation aux inégalités de Sobolev logarithmiques - Fermeture des orbites des semi-groupes non-lacunaires de N*, d'après Furstenberg
(François Maucourant)
Un théorème, dû à Furstenberg, affirme que siest irrationnel, l'ensemble {2n 3m x }{n, m>0} est dense modulo 1. Il s'agit de présenter la preuve (dans le cadre des semi-groupes non lacunaires) de ce beau théorème de dynamique topologique.
Référence : Furstenberg H., Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation. Math. Systems Theory 1 1967 1--49. - Solutions explosives pour l'équation de Schrodinger non linéaire
(Florian Mehats)
L'équation de Schrodinger avec une non linéarité cubique peut, en dimension 2, générer des solutions explosives (dont le temps d'existence est fini). On étudiera plusieurs critères, sur l'énergie ou la masse de la donnée initiale, qui permettent de caractériser si on est en situation explosive ou non. Par ailleurs, on construira une classe particulière de solutions explosives dites "critiques", via la résolution d'un problème elliptique non linéaire.
Références :- M. I. Weinstein, Nonlinear Schrödinger equations and sharp interpolation estimates, Comm. Math. Phys. 87 (1982/83), 567--576.
- T. Cazenave, Semilinear Schrodinger Equations, Lecture Notes AMS, (en particulier paragraphe 8.4).
- Propriétés de symétries de solution d'équation elliptiques semi-linéaires
(Florian Mehats)
On étudiera la méthode des «plans glissants» de Gidas, Ni et Nirenberg, qui permet de montrer que les solutions positives d'une équation elliptique semi-linéaire dans la boule unité sont à symétrie radiale. Il s'agit d'un résultat plutôt spectaculaire, au vu de la simplicité de cette technique qui se base essentiellement sur le principe du maximum fort.
Références :- B. Gidas, W. M. Ni, L. Nirenberg, Symmetry and related properties via the maximum principle, Comm. Math. Phys. 68 (1979), 209--243.
- L. C. Evans, Partial Differential Equations.
- Le théorème de Simader
(Francis Nier)
Le théorème de Simader assure le caractère bien posé (propriété d'auto-adjonction essentielle) d'opérateurs de Schrödinger dans Rd bornés inférieurement. Il est valable sous des hypothèses assez générales et sa démonstration est relativement simple. Des exemples non triviaux faisant intervenir des Laplaciens de Witten pourront être donnés. - Réseaux d'Abrikosov
(Francis Nier)
L'optimalité du réseau hexagonal dans les réseaux d'Abrikosov intervenant en supraconductivité, dans la superfluidité de l'hélium et dans les condensats de Bose-Einstein se démontre simplement une fois les quantités bien identifiées. Il s'agit de présenter une preuve de cette optimalité, relativement élémentaire, qui se ramène à l'étude d'une fonction dans le demi-plan de Poincaré. - Théorie élémentaire de l'intersection
(Bernard Le Stum).
Le magnifique théorème de Bézout nous dit que, si l'on compte correctement, le nombre de points d'intersection de deux courbes planes est le produit de leurs degrés. Ce résultat se généralise aisément en dimension supérieure et on peut en donner une démonstration très élégante si on se donne la peine d'introduire certains outils d'algèbre commutative comme la notion de module gradué. Un étudiant ayant suivi un cours sur les courbes algébrique ainsi qu'une introduction à la géométrie algébrique trouvera sans aucun doute ce sujet fort intéressant.
Référence : Algebraic Geometry, R. Hartshorne, Partie I, chapitre 7. - Groupes de Mathieu
(Felix Ulmer)
Présentation des groupes simples sporadiques qui sont caractérisés par le fait qu'il sont multitransitif. L'exposé est basé sur le chapitre correspondant du livre de Robinson, A course in the theory of groups, Springer GTM 1991 - Stabilité de profil de choc de loi de conservation scalaire
(Julien Vovelle)
Une loi de conservation scalaire, qu'on suppose ici inclure un terme visqueux, admet des solutions particulières qu'on appelle profils de choc. Ces profils de choc sont des sortes d'équilibres de l'équation. On se pose la question de leur stabilité sous perturbation.
Référence: H. Freistuhler, D. Serre, L1-stability of shock waves in scalar viscous conservation laws. Communications in Pure and Applied Maths., 51 (1998), pp 291-301. - Un probleme d'homogénéisation
(Julien Vovelle)
On s'intéresse à un phénomène (modélisé par une équation elliptique) qui a lieu dans un milieu constitué de motifs hétérogènes mais tout petits et allant en se répétant. Que voit-on quand on recule ?
Référence: L.C. Evans, Partial Differential Equations, Chapitre 4.5.4. - Lois infiniment divisibles
(Jian-Feng Yao)
Une loi de probabilité F est dite infiniment divisible si pour chaque entier n elle possède une racine n-ième pour le produit de convolution qui est encore une loi de probabilité. En terme de variables aléatoires, cela veut dire que X a une loi infiniment divisible si pour chaque n, on peut trouver n variables, (Y1, ..., Yn), indépendantes et de même loi, telles que la loi de leur somme Y1+ ... + Yn coïncide avec celle de X. Les lois infiniment divisibles apparaissent naturellement dans le théorème limite central. La loi gaussienne et la loi de Poisson sont infiniment divisibles, mais il en existe bien d'autres.
Ce sujet propose d'exposer la célèbre formule dite de Khintchine-Lévy qui caractérise l'ensemble des lois infiniment divisibles sur la droite.
Référence. Pages 185-195 du livre Probability, Leo Breiman, 1968, Addison-Wesley - Champs de Markov pour restauration d'images numériques dégradées
(Jian-Feng Yao)
Cet exposé propose de revenir sur un célèbre article des frères Geman, datant de 1984 qui a popularisé deux objets de probabilité appliqué dans le monde de traitement d'images numériques. Il s'agit des champs de Markov sur un réseau fini d'une part, et de l'algorithme du recuit simulé d'autre part. C'est par exemple dans cet article se trouve la première démonstration de l'algorithme du recuit simulé qui ensuite a suscité de nombreuses études théoriques. A l'aide de cette modéisation, les auteurs montrent des resultats significatifs en restauration d'images dégradées et détection de structures de bord dans une image.
Référence de l'article : Geman S. et Geman D., 1984. Stochastic relaxation, Gibbs distributions, and the Bayesian restoration of images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 6 (6): 721-741
Pour une introduction élémentaire au sujet, vous pouvez aussi voir cet exposé.
