Master de mathématiques de l'université de Rennes 1

Deuxième année

Sujets de séminaires proposés en 2004-05

Transition de phase pour le modèle de Curie-Weiss. (Jean-Baptiste Bardet)
Il s'agit d'étudier un modèle probabiliste simple issu de la mécanique statistique, et en particulier de montrer qu'il présente un phénomène de transition de phase et de magnétisation spontanée.
Référence : Section IV.4 de Entropy, Large Deviations and Statistical Mechanics, de Ellis
Un schéma d'ELLAM (Eulerian-Lagrangian Localized Adjoint Method) pour des équations d'advection-réaction. (Aziz Belmiloudi)
Bibliographie: An Ellam scheme for multidimensional advection-reaction equations and its optimal-order error estimate. Par H. Wang, X. Shi et R.E. Ewing, SIAM, 2001.
Bifurcation de systèmes de réaction-diffusion et application aux épidémies. (Aziz Belmiloudi)
Bibliographie: 1. Mathematical Biology. Par Murray, Springer, 1993; 2. Bifurcation of reaction-diffusion systems: Application to epidemics of many species. Par A. Leung et B. Villa, M2A, 2000.
Théorèmes limites pour les sommes partielles indexées par des parties du cube (Philippe Berthet)
Soit A_d une classe de parties A mesurables et régulières du cube unité de R_d et X_i des variables réelles indexées par Z_d. Soit Y_n le processus qui à une partie A dans A_d associe la somme des variables réelles X_i telles que i est dans nA. Il s'agit d'établir une loi forte des grands nombres pour Y_n lorsque n tend vers l'infini ainsi qu'une loi du logarithme itéré fonctionnelle. On montrera au passage le théorème limite central uniforme (convergence vers le mouvement brownien indexé par A_d). La méthode repose sur le principe d'emboitement de Skorokhod évoquée en cours.
[1] Bass, Richard F.; Pyke, Ronald "A strong law of large numbers for partial-sum processes indexed by sets." Ann. Probab. 12 (1984), no. 1, 268-271.
[2] Bass, Richard F.; Pyke, Ronald "Functional law of the iterated logarithm and uniform central limit theorem for partial-sum processes indexed by sets. Ann. Probab. 12 (1984), no. 1, 13-34.
Un théoreme ergodique de type Von Neumann pour les actions de groupes libres (Serge Cantat)
Référence: Guivarc'h, CRAS 268, série A, p. 1020-1023.
Proofs from the Book (Antoine Chambert-Loir)
Il s'agit de choisir un chapitre de ce livre merveilleux et de l'exposer.
3 ou 4 preuves de votre théorème préféré (Antoine Chambert-Loir)
Prenez votre théorème préféré, pas trop simple de préférence, et racontez-en 3 ou 4 preuves, toutes différentes. Exemples possibles : le théorème fondamental de l'algèbre, le théorème des zéros de Hilbert,...
Fonction zêta de Riemann et répartition des nombres premiers (Antoine Chambert-Loir)
Il s'agit de démontrer le théorème des nombres premiers (par l'analyse complexe) et d'expliquer le lien entre le terme d'erreur et l'hypothèse de Riemann.
Théorème de Gel'fond-Schneider (Antoine Chambert-Loir)
Ce théorème implique la transcendance de nombreuses valeurs des solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients dans le corps Q(X) (fractions rationnelles à coefficients rationnels). La transcendence de e et pi en découle facilement.
Bibliographie: la démonstration est relativement bien exposée dans le livre Algebra de S. Lang.
Résultats asymptotiques pour une équation de type Burger. (Christophe Cheverry)
Lecture d'une prépublication d'I. Gallagher et de L. Saint-Raymond. On s'intéresse au comportement asymptotique de solutions $ \{ u^\eps \}_\eps $ d'un système modélisant le mouvement d'un gaz sans pression soumis à un fort champ magnétique. Cela conduit à montrer qu'une petite perturbation sur $ u^\eps $ peut modifier à l'ordre zero la phase d'oscillation associée à $ u^\eps $.
Interaction d'ondes. (Christophe Cheverry)
Lecture de l'article de G. Métivier et S. Schochet, Duke Math. J. (1998), 241-304. Il s'agit de comprendre le comportement asymptotique de certaines familles $ \{ u^\eps \}_\eps $ de solutions d'une équation aux dérivées partielles non linéaire. On veut savoir si les limites faibles de $ \{ u^\eps \}_\eps $ sont encore solution. En la circonstance, cela nécessite d'extraire de $ \{ u^\eps \}_\eps $ un groupe abélien compact $ G $ ainsi que des homomorphismes $ \{ \rho^\eps \}_\eps $. Puis il faut dégager la notion de mesure de Young multi-échelle associée au triplet $ G $, $ \{ u^\eps \}_\eps $ et $ \{ \rho^\eps \}_\eps $.
Cet exposé pourrait être fait en binôme.
Quelques exemples de transformations minimales non uniquement ergodiques. (Yves Coudène)
Une première référence est le livre de Parry Topics in ergodic theory.
Courbes remplissant le carre : Le paradoxe de Katok et la courbe de Peano (Bernard Delyon)
D'apres Fubini foiled, The Mathematical Intelligencer, 1997, pp 30-32 ainsi que l'article en ligne. On peut imaginer deux exposés distincts.
Algèbres centrales simples (Antoine Ducros)
Les seuls algèbres à division de dimension finie sur le corps des nombres réels sont R, C et le corps des quaternions. Cet énoncé simple fait partie d'un joli chapitre d'algèbre explorant la théorie des algèbres de dimension finie sur un corps commutatif qui sont simples (n'ont pas d'idéal bilatère non trivial). En particulier, une telle algèbre est isomorphe à l'algèbre des matrices sur un corps gauche.
Optimisation d'utilité en marché incomplet. (Ying Hu)
Il s'agit d'une introduction pour l'optimisation d'utilité en marché incomplet mais dans des modèles en espaces finis de probabilités.
Propriétés de mélange pour les groupes à un paramètre de SL(d,R) (Stephane Leborgne)
Il s'agit de lire un petit texte de dix pages tiré d'exposés de Y. Guivarc'h dont voici un résumé. Soient $\Gamma$ un sous-groupe discret de $SL(d,R)$ de covolume fini et $(g_t)$ un sous-groupe à un paramètre non compact de $SL(d,R)$. On se propose de montrer que l'action de $(g_t)$ sur $SL(d,R)/\Gamma$ est mélangeante. Il existe différentes preuves de ce résultat. Celle proposée ici a l'avantage d'être élémentaire.
Théorème de décomposition de Manin (Bernard Le Stum)
C'est un théorème qui dit que la catégorie des F-isocristaux sur un corps local strict est semi-simple. Plus prosaïquement, il s'agit d'étudier la notion de pente qui est un analogue semi-linéaire de celle de valeur propre.
Équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus (Roger Lewandowski)
Théorème : Soit $G$ une fonction uniformément Lipschitzienne sur $\R$ avec $G(0) = 0$. Si $u \in H^{1,p}_0 (\Omega)$ ($\Omega$ ouvert borné régulier) alors $G(u) = G \circ u \in H^{1,p}_0 (\Omega)$. Si de plus $G'$ n'admet qu'un nombre fini de discontinuités, alors ${\partial (G(u)) \over \partial x_i} = {\partial (u \over \partial x_i} . G'(u)$ pp dans $\Omega$ au sens des distributions.
On étudira aussi quelques applications récentes de base dans les équations elliptiques à données mesures.
Bibliographie : Guido Stampacchia, Séminaire de mathématiques supérieures été 1965, cours d'été de l'OTAN, Presses de l'Université de Montréal.
Théorème de Wigner (Florent Malrieu)
L'objet de ce théorème est l'étude du spectre de matrices aléatoires de grande taille. Il établit que la mesure empirique des valeurs propres d'une matrice aléatoire symétrique converge (quand la taille de la matrice tend vers l'infini) vers une mesure parfaitement identifiée : la loi du demi-cercle. Ce résultat célèbre joue un rôle très important en physique, mais aussi dans une nouvelle branche de la théorie des probabilités que sont les probabilités libres.
Éléments de bibliographie : Bai dans Statistica Sinica 9 (1999), Methodologies in spectral analysis of large dimensional random matrices, a review.
Processus d'Orsntein-Uhlenbeck (Florent Malrieu)
L'idée est de construire et d'étudier un modèle décrivant la trajectoire d'une particule de pollen dans un verre d'eau. On s'interessera aux diverses approches proposées au cours du vingtième siècle puis on étudiera le processus d'Ornstein-Ulhenbeck : ses propriétés markoviennes, sa convergence à l'équilibre etc... On ne sort pas ici de la classe des processus gaussiens, ce qui permet de rester à un niveau élémentaire, tout en présentant des idées qui pourront se généraliser à l'étude de nombreux processus.
Éléments de bibliographie : livre de Nelson en ligne; Royer : Une initiation aux inégalités de Sobolev logarithmiques
L'exemple de Denjoy (Laurent Meersseman)
Il s'agit de construire un difféomorphisme C¹ du cercle dans lui-même possedant un ensemble minimal exceptionnel, c'est-a-dire un ensemble invariant fermé non vide homéomorphe à un ensemble de Cantor.
Le théorème d'irréductibilité de Hilbert (Laurent Moret-Bailly)
Dans sa forme classique, ce théorème s'énonce ainsi: soit P(T,X) un polynôme à deux variables à coefficients dans Q. On suppose P irréductible dans Q(T)[X]. Alors il existe une infinité de rationnels t tels que P(t,X) soit irréductible dans Q[X].
Références : J.P. Serre, Lectures on the Mordell-Weil theorem, chapitre 9; S. Lang, Fundamentals of Diophantine Geometry, chapitre 9.
Un théorème de Jordan pour les groupes linéaires (Felix Ulmer)
Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL(n,C)$, alors il existe dans $G$ un sous-groupe abélien $A$ dont l'indice ne dépend que de $n$, càd $[G:A]\le f(n)$. En 1879, C. Jordan dans [1] a montré le théorème sans donner de fonction $f(n)$. Une borne explicite a été donnée par Schur [2] et une autre par Blichfeld [3].
[1] C. Jordan, Journal für Math., Mémoire sur les équations différentielles linéaires à intégrale algébrique, 1878.
[2] Curtis & Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience Publisher 1966. Section 36 p 250
[3] L. Dornhoff, Group representation theory Part A, Marcel Dekker Inc 1971. Section 30: Jordan's Theorem a la Blichfeld.
Base de Gröbner et applications. (Felix Ulmer)
On présentera les bases de Gröbner et leur utilisation pour résoudre des problèmes, par exemple élimination et coloriage de graphes.
Bibliographie:
Cox D, Little JB, O'Shea, Ideals, Varieties, and Algorithms, Second Edition, 1996 Springer-Verlag
William Adams, Phillippe Loustaunau, An introduction to Gröbner bases, Graduate Studies in Mathematics, ISSN 1065-7339; 3, AMS, Providence RI, 1994
Formulation cinétique des lois de conservation scalaires (Julien Vovelle)
On s'intéressera aux formulations cinétiques des lois de conservation scalaires : application aux propriétés de regularité, compacité de la solution entropique et/ou application a la comparaison de solutions entropiques.
Références : «A kinetic formulation of multidimensional scalar conservation laws and related equations», P.L. Lions, B. Perthame, E. Tadmor, J. of AMS, vol 7, (1994); «Uniqueness and error estimates in first order quasilinear conservation laws via the kinetic entropy defect measure», B. Perthame, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Séerie, vol 77 (1998)
Système hyperbolique résonant (Julien Vovelle)
Étude du problème de Riemann pour un système hyperbolique résonant (systeme hyperbolique pour lequel se produit une coïncidence de valeurs propres).
Référence : «Nonlinear resonance in systems of conservation laws», E. Isaacson, B. Temple, SIAM, J. of Applied Math., vol 52, no 5 (1992), 1260-1278.
Interpolation complexes dans les espaces d'opérateurs. (Dimitri Yafaev)
Littérature : Reed, Simon, Methods of modern mathematical physics, v.2; Gokhberg, Krein, Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators.
Champs de Markov pour restauration d'images numériques dégradées (Jian-feng Yao)
Cet exposé propose de revenir sur un célèbre article des frères Geman, datant de 1984 qui a popularisé deux objets de probabilité appliqué dans le monde de traitement d'images numériques. Il s'agit des champs de Markov sur un réseau fini d'une part, et de l'algorithme du recuit simulé d'autre part. C'est par exemple dans cet article se trouve la première démonstration de l'algorithme du recuit simulé qui ensuite a suscité de nombreusesétudes théoriques. A l'aide de cette modéisation, les auteurs montrent des resultats significatifs en restauration d'images dégradées et détection de structures de bord dans une image.
Référence de l'article : Geman S. et Geman D., 1984. StochaStic relaxation, Gibbs distributions, and the Bayesian restoration of images. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 6 (6): 721-741
Pour une introduction élémentaire au sujet, vous pouvez aussi voir cet exposé.

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