Université de Rennes 1

mercredi 18 septembre

Tristan Vaccon

Précision $p$-adique, exemples et applications.

Lorsqu'on souhaite travailler de manière effective avec des nombres $p$-adiques, on est confronté avec le fait de devoir travailler en précision finie. Dans cet exposé, je montrerai les trois principaux outils d'étude de la précision $p$-adique : suivi pas à pas, polygone de Newton et calcul différentiel.

mercredi 25 septembre

Damien Davy

Introduction à la théorie de Galois différentielle, "version algébrique".

Si le temps le permet, nous verrons :

• comment définir le groupe de Galois d'une équation différentielle ;
• la correspondance de Galois ;
• à l'aide d'une liste des sous groupes fermés de $SL(2,{\mathbb{C}})$, pourquoi une solution de l'équation d'Airy : $$y^{\prime \prime}=zy$$ est une "nouvelle" fonction.

mercredi 2 octobre

Basile Pillet

Une introduction manuelle$\! ^1$ à la théorie de Mori.

Le but de cet exposé est de présenter de manière informelle (j’insiste) les techniques dites "bend & break" de création de courbes rationnelles et d’entrapercevoir leur utilité dans le cadre du programme du modèle minimal de S. Mori.

Plan prévisionnel :

1. courbe rationnelle ;
2. "bend & break" lemma ;
3. théorème du cône et modèle minimal.

mercredi 9 octobre

Charles Savel

Courbes projectives non-singulières et corps de fonctions de dimension 1.

Le but de l'exposé est de faire le lien entre les courbes projectives non-singulières et les corps de fonctions de dimension 1 sur $k$, i.e. les extensions de $k$ de type fini de degré de transcendance 1. Je rappellerai d'abord ce qu'est une variété algébrique sur un corps algébriquement clos $k$, ce qu'est le faisceau des fonctions régulières sur une telle variété et le corps des fonctions, puis j'essaierai d'expliquer comment on peut associer une courbe projective non-singulière à un corps de fonctions de dimension 1.

jeudi 10 et vendredi 11 octobre

Journées Louis Antoine IX.

Page web.

mercredi 16 octobre

Andrew Sale

The geometry of free solvable groups.

Pas de résumé disponible.

mardi 22 octobre

Soutenance de thèse : Sandrine Caruso.

Salles 004-006, à 11h (résumé).

mercredi 23 octobre

Alexandre Lemeur

Variétés abéliennes.

Pas de résumé disponible.

mercredi 30 octobre

Relâche.

mercredi 6 novembre

Relâche.

mercredi 13 novembre

Christian Urech

The affine Cremona group and its automorphisms.

The affine Cremona group is the group of polynomial automorphisms of the affine $n$-space ${\mathbb{A}}^n$. I will introduce the group, describe its ind-group-structure and explain some recent results about its automorphisms as an abstract group and as an ind-group.

mercredi 20 novembre

Julien Dhondt

Géométrie analytique non archimédienne I.

Géométrie rigide suivant Tate. On cherche à établir une notion d'espace analytique sur un corps non-archimédien complet ${\mathbb{K}}$. Si l'on s'inspire de la théorie des variétés analytiques complexes, en définissant les fonctions analytiques comme fonctions développables en séries entières au voisinage de chaque point, on obtient un faisceau « trop riche » (et « pas assez » de variétés) car ${\mathbb{K}}$ est totalement discontinu. La construction proposée par Tate n'est donc pas celle d'un tel faisceau sur un espace topologique localement homéomorphe à des ouverts de ${\mathbb{K}}^r$, mais celle d'un espace rigide : un ensemble muni d'une topologie de Grothendieck et d'un préfaisceau vérifiant la condition de faisceau pour les recouvrements ouverts dits « admissibles ». Nous étudierons, sans effectuer toute cette construction, les objets affines de cette théorie et donnerons une condition suffisante pour qu'un recouvrement soit admissible.

mercredi 27 novembre

Julien Dhondt

Géométrie analytique non archimédienne II.

Fibres génériques de schémas formels. Pas de résumé disponible.

mercredi 4 décembre

Kodjo Kpognon

Dérivations et Nilpotents non triviaux du schéma des arcs tracés sur une courbe algébrique affine.

Suite à l'introduction de la notion d'arcs tracés sur une variété algébrique et de la notion de dérivation sur cette dernière, nous montrerons que le schéma des arcs tracés sur une courbe algébrique affine est réduit si et seulement si la courbe est lisse.

mercredi 11 décembre

Sandrine Caruso

Introduction aux espaces $\delta$-hyperboliques.

Pas de résumé disponible.

mercredi 18 décembre

Arnaud Girand

Histoires de connexions plates.

Le but premier de cet exposé est de présenter différentes définitions (équivalentes ...) de la notion de connexion plate sur un fibré puis d'expliquer comment il est possible (et pourquoi il est souhaitable) de jongler entre ces dernières.

À noter que cet exposé ne comportera pas de numéro de cirque.

mercredi 25 décembre

Relâche.

mercredi $1^{er}$ janvier

Relâche.

mercredi 8 janvier

Relâche.

mercredi 15 janvier

Cécile le Rudulier

Points quadratiques de hauteur bornée sur ${\mathbb{P}}^1 \times {\mathbb{P}}^1$.

Je donnerais dans cet exposé une estimation du nombre de points quadratiques de hauteur bornée sur ${\mathbb{P}}^1 \times {\mathbb{P}}^1$. Nous verrons ensuite ce que cette estimation implique pour la conjecture de Manin, qui concerne les points rationnels de hauteur bornée sur une variété projective lisse. La notion de hauteur sera définie en début d'exposé.

mercredi 22 janvier exceptionnellement à 15h15

Aurélien Sagnier (Paris VII - Münster)

Autour du théorème de Riemann-Roch.

Dans mon exposé j'essaierai de décrire la famille et la vie du théorème de Riemann-Roch : ses origines, sa naissance, son enfance, son adolescence, son âge adulte et ses descendants. Sa famille étant vaste et sa vie bien remplie, mon exposé sera forcément partiel et réflètera mes propres intérêts mathématiques.

mercredi 29 janvier

Yvan Ziegler

Courbes elliptiques sous les points de vue complexe et $p$-adique.

Dans mon exposé j'essayerais de vous dresser un portrait comparatif des courbes elliptiques respectivement vues dans ${\mathbb{C}}$ et dans ${\mathbb{C}}_p$. Il est bien connu que leur étude dans le corps des complexes a permis d'en réveler des propriétés extrêmements riches. Mais par exemple dans le cadre de l'étude des courbes elliptiques sur les corps finis il est tout à fait naturel d'étudier également ces courbes dans ${\mathbb{C}}_p$. On vera ainsi un petit aperçu de ce que les deux point de vues nous apportent, et notamment le lien avec la cryptographie (si j'ai le temps).

mercredi 5 février exceptionnellement à 15h

Gwezheneg Robert

Décodage des codes de Reed-Solomon et des codes de Gabidulin

Dans mes derniers exposés à ce séminaire, je présentais les codes de Gabidulin comme l'équivalent des codes de Reed-Solomon en métrique rang. L'idée pour cet exposé est de présenter une manière de décoder les codes de Reed-Solomon, et de faire le lien avec les décodage des codes de Gabidulin.

mercredi 12 février

Élise Goujard

Petite pause acoustique.

Je propose de faire une petite pause musicale pour parler un peu d'acoustique, en particulier de quelques notions comme la gamme, les harmoniques, le timbre, et de voir à quel niveau interviennent les maths. Il n'y aura pas de géométrie dans l'exposé, mais un soupçon de physique, une pincée de maths, saupoudré d'un peu d'histoire et agrémenté de quelques sons illustratifs, le tout à un niveau très modeste.

mercredi 19 février

Ophélie Rouby

Conditions de Bohr-Sommerfeld.

Les conditions de Bohr-Sommerfeld caractérisent le spectre d'un opérateur pseudo-différentiel auto-adjoint. Ces conditions s'obtiennent via la détermination de solutions dites microlocales d'un opérateur pseudo-différentiel $P(h)$ (ce sont des solutions $u_h$ de l'équation $ P(h) u_h = 0$). Nous verrons comment construire de telles solutions à l'aide d'outils géométriques.

mercredi 26 février

Vincent Mineo-Kleiner

En guise de premier pas vers la cohomologie rigide.

Ma thèse porte sur la cohomologie rigide, une théorie cohomologique adaptée aux variétés sur un corps fini, que l'on construit à l'aide des corps $p$-adiques, qui nous permettent de relever nos variétés en caractéristique nulle. Au lieu de rentrer directement dans le vif du sujet, que ce soit pour cet éxposé ou pour mon travail personnel, j'ai décidé de commencer par retracer l'histoire des théories cohomologiques. Cette histoire commence par la notion d'homologie, inventée par Poincarré au début du 20e siècle. Je ferai donc un exposé de topologie algébrique, qui se voudra élémentaire. On introduira donc l'homologie singulière, un invariant topologique centré sur les idées de découpage et de bord des espaces topologiques, à une époque ou l'on cherchait à classifier les espaces à l'aide de la connexité.

mercredi 5 mars

Vincent Mineo-Kleiner

En guise de premier pas vers la cohomologie rigide (bis).

Pas de résumé disponible.

mercredi 12 mars

Camille Horbez

Marches aléatoires sur les groupes et horofonctions.

Mon exposé sera une introduction à quelques problèmes liés aux marches aléatoires sur les groupes : étant donné un groupe $G$ agissant sur un espace métrique, que peut-on dire du comportement asymptotique typique d'un élément de $G$ obtenu par multiplication d'incréments successifs indépendants choisis suivant une même loi de probabilité sur $G$ ? On abordera des notions possibles de vitesse et direction de fuite de la marche aléatoire ainsi définie. Au cours de mon exposé, je serai amené à introduire une construction de bord à l'infini d'un espace métrique $X$ qui fait appel à une notion d'horofonctions sur $X$.

mercredi 19 mars

"Maths en jeans".

Programme.

mercredi 26 mars

Workshop "Géométrie et singularités réelles".

Page web.

mercredi 2 avril

Sinan Yalin (Luxembourg)

Théories de champs topologiques.

Les théories de champs quantiques topologiques ont été axiomatisés en 1988 par Atiyah, en s'inspirant des travaux de Segal sur les théories de champs conformes et de Witten en physique théorique (supersymétrie, théorie des cordes). Elles ont eu depuis un fort impact en mathématiques, notamment pour la construction d'invariants quantiques des noeuds, invariants de variétés, et l'on a réalisé ces dernières années qu'elles sont profondément reliées à d'autres sujets comme la théorie des catégories supérieures (et, conjecturalement, le programme de Langlands géométrique). Elles ont aussi une longue et fructueuse histoire du côté de la physique, notamment concernant les travaux menés sur les différents modèles de supersymétrie.
Les applications sont vastes, et l'objet du présent exposé ne sera bien sûr pas d'en faire une présentation exhaustive. Une bonne partie de mon exposé s'axera sur la définition d'une TQFT : prérecquis de théorie des catégories, définition formelle, et le cas particulier des TQFTs de dimension $2$ qui sont caractérisables par des objets algébriques bien connus, les algèbres de Frobenius. Ce qui se passe en dimension $2$ est facilement visualisable et constitue donc un bon "toy model" pour appréhender cette notion. Dans une dernière partie, je donnerai un aperçu informel des motivations dans l'étude des TQFTs de dimension supérieures ainsi que celles dites "étendues".

jeudi 3 et vendredi 4 avril

Journées Louis Antoine X.

Page web.

mercredi 9 avril

Filip Misev (Bern)

Noeuds fibrés.

Pas de résumé disponible.

mercredi 16 avril exceptionnellement à 10h

Arthur Chassaniol (Clermont-Ferrand)

Étude des groupes quantiques de permutations.

Je commencerai par définir la généralisation quantique des groupes de permutations classiques puis donnerai des moyens pour étudier ses groupes "abstraits" en utilisant notamment les graphes sommet-transitifs finis et la théorie des représentations/co-représentations.

mercredi 23 avril

Marine Fontaine (Manchester)

Symplectic reduction for finite-dimensional Hamiltonian systems.

The aim of this talk is to describe the modern theory of symplectic reduction in finite-dimensional Hamiltonian mechanics. It illustrates how a symmetry can be exploited in order to reduce the number of variables needed to treat a problem. This theory generalizes Noether's theorem, which describes the correspondance between continuous symmetries and conserved quantities. Roughly speaking, the symplectic reduction goes in the following way: given the symplectic action of a Lie group $G$ on a symplectic manifold $(P,\Omega)$ which admits a momentum map $\textbf{J}:P\to {\mathfrak{g}}_{\mu}^*$, a level set of the momentum map $\textbf{J}^{-1}(\mu)$ is divided by the action of a suitable subgroup of $G$ to form a new symplectic manifold $(\textbf{J}^{-1}(\mu)/G_{\mu},\Omega_{\mu})$.

Slides from the talk : .pdf

mercredi 30 avril

Relâche.

mercredi 7 mai

Relâche.

mercredi 14 mai

Arnaud Girand

Un exemple de déformation isomonodromique.

Tout est dans le titre (ou presque). On s'intéressera ici au problème suivant : étant donné une connexion plate (un système intégrable) à pôles logarithmiques, comment peut-on déformer ce dernier sans modifier la façon dont il 'se comporte quand on s'amuse à faire des tours de pôles' ? Il est possible qu'une équation différentielle ou deux (voire une EDP) fassent leur apparition.

vendredi 16 mai à 16h (salle 006)

Julien Hauseux (Orsay)

Extensions entre séries principales $p$-adiques et modulo $p$ d'un groupe réductif $p$-adique.

Le but de cet exposé est d'introduire les différentes catégories de représentations $p$-adiques et modulo $p$ d'un groupe réductif $p$-adique, ainsi que les foncteurs d'induction parabolique et des parties ordinaires. On étudiera plus particulièrement les séries principales et j'expliquerai comment calculer les extensions entre ces dernières.

mercredi 21 mai (salle 006)

Alessandro Sisto (Zurich)

Acylindrically hyperbolic groups.

A (Gromov-)hyperbolic space is a geodesic metric space satisfying a simple condition on triangles. As it turns out, there are many groups that admit an "interesting" (acylindirical and non-elementary) action on a hyperbolic space, for example mapping class groups. Such groups are called acylindrically hyperbolic, and a lot has been shown about them in recent years. For example, any acylindrically hyperbolic group is SQ-universal, meaning that every countable group embeds in some of its quotients (and in particular it has uncountably many non-isomorphic quotients). I will give the relevant definitions, state some results and try to give an idea on how an action of a group on a hyperbolic space can be exploited to prove properties of the group.

vendredi 23 mai à 16h

Sam Derbyshire (London)

Topos. Exemples et applications.

Originellement découverte en géométrie algébrique par l'école de Grothendieck, la théorie des topos donne un contexte naturel pour faire des mathématiques, plus général que la seule théorie des ensembles. Cela établit des liens forts entre la géométrie, la théorie des catégories, et la logique, nous permettant de faire des raisonnements mathématiques naturels, généralisant le fait que l'on puisse utiliser la notion d'éléments pour prouver le lemme du serpent (et autres résultats d'algèbre homologique). La seule distinction à faire, c'est que ce contexte s'apparente davantage aux systèmes de types que l'on trouve en programmation, qu'à une théorie des ensembles à la Zermelo. Étonnamment, ce contexte se prête très bien à une interprétation géométrique, permettant par exemple d'unifier diverses notions de changement de base, ou de donner de nouvelles justifications pour diverses constructions de topos que l'on rencontre en géométrie algébrique.

mercredi 28 mai

Alexandre Lemeur

Groupe $\Theta$ et $\Theta$-structure d'une variété abélienne.

On a vu lors du précédent exposé que la donnée d'une variété abélienne (projective par définition) dépendait d'un fibré ample qui fournit ce plongement projectif. En revanche, ce plongement dépend d'une base des sections globales de ce fibré. L'objet de l'exposé est de présenter la notion de $\Theta$-structure qui a pour but de rendre canonique le choix de cette base en s'appuyant sur le modèle complexe, c'est-à-dire en trouvant une section "privilégiée" (c'est la fonction $\theta$ de Riemann dans le cas complexe) et en faisant agir le groupe de Heisenberg pour retrouver toutes les autres sections.

mercredi 4 juin

Basile Pillet

Structures (presque)-complexes, intégrabilité and stuff…

On peut munir un espace vectoriel sur ${\mathbb{R}}$ d'une "structure complexe" qui l'identifie à un espace vectoriel sur ${\mathbb{C}}$ de dimension moitié. Ce jeu d'algèbre linéaire élémentaire entre ${\mathbb{R}}$-ev et ${\mathbb{C}}$-ev se transpose aux variétés, en donnant naissance à un théorie très riche et très largement incomprise (on pourra facilement énoncer un problème ouvert de plus de 60 ans). Et … il y aura des dessins !

mercredi 11 juin exceptionnellement à 15h

Christian Urech

Sur le groupe de Cremona.

Le groupe de Cremona est le groupe des transformations birationnelles de l'espace projectif. En dimension deux ce groupe était déjà intensément étudié par les géomètres algébristes du 19ème siècle en Italie, mais beaucoup des problèmes classiques restaient ouverts. Récemment quelque progrès était obtenu, mais en dimension plus grande le groupe reste incompris. Je vais introduire le groupe de Cremona et expliquer quelques résultats, questions et aussi un peu d'histoire.

mercredi 18 juin

Relâche.

mercredi 25 juin

Pierre Karpman (INRIA - Nanyang Technological University)

Codes (hyper)elliptiques, implémentations vectorielles & applications à la conception de primitives cryptographiques symétriques

Cet exposé présentera quelques applications de codes correcteurs issus de la géométrie algébrique à la cryptographie. On montrera notamment comment ceux-ci peuvent être utilisés pour définir des matrices de diffusion avec de bonnes propriétés et de relativement grande dimension sur de petits corps (par ex. de dimension $16$ sur ${\mathbb{F}}_{2^4}$). On présentera également des algorithmes vectoriels (dans le sens où ils utilisent certaines des instructions vectorielles « SIMD » fournies par les processeurs, telles les extensions SSE) permettant d’implémenter efficacement la multiplication d’un vecteur par ces matrices. Enfin, on discutera de l’utilisation du groupe d’automorphisme des codes pour chercher des matrices dont l’implémentation est particulièrement efficace.