Equations différentielles stochastiques rétrogrades

Une partie importante de la recherche de l'équipe est consacrée à l'étude théorique sur les Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSR), ainsi qu'à leurs applications diverses (Equations aux Dérivées Partielles (EDP), finance, contrôle, théorie du potentiel).

En collaboration avec R. Carmona, P. BRIAND a étudié les propriétés - d'existence et d'unicité essentiellement - des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR en abrégé) lorsque le générateur n'est pas à croissance linéaire mais à croissance polynomiale dans la variable d'état.

P. BRIAND, B. DELYON et J. MÉMIN ont étudié la stabilité des solutions d'EDSR par rapport à la martingale directrice [9,10]. Lorsque l'on prend pour martingale directrice, une marche aléatoire renormalisée, on obtient l'analogue du théorème de Donsker pour les EDSR. Dans un cadre plus général, la martingale qui dirige l'EDSR ne possède pas nécessairement la propriété de représentation prévisible ce qui complique la situation.

Le théorème de comparaison pour les EDSR est un classique de cette théorie. En collaboration avec S. Peng, P. BRIAND, F. COQUET, Y. HU et J. MÉMIN, dans [11] ont étudié de la réciproque de ce théorème. Autrement dit, on suppose que, pour chaque condition terminale $\xi$, la solution de l'EDSR associée à la donnée standard $(\xi,g_1)$ est supérieure ou égale à l'instant $t=0$ à la solution de l'EDSR associée à la donnée $(\xi,g_2)$. On montre alors dans [11] que $g_1\ge g_2$ si $g$ est déterministe ou ne dépend pas de $y$. En collaboration avec S. Peng, F. COQUET, Y. HU et J. MÉMIN ont établit finalement le théorème général de comparaison inverse. De plus, ils ont déduit dans [11], certaines propriétés d'EDSR et $g$-espérances. Cela les a conduit à l'étude de ``martingales nonlinéaires'', une notion que F. COQUET, Y. HU, J. MÉMIN et S. Peng ont introduit dans [7]. On montre notamment dans cet article que, pour la filtration brownienne, ces martingales nonlinéaires peuvent être représentées par les solutions de certaines EDSR, ce qui a étendu le célèbre théorème de représentation de martingale au cas nonlinéaire.

En collaboration avec R. Buckdahn et S. Peng, P. BRIAND et Y. HU ont abordé l'homogénéisation d'un système d'EDP à coefficients périodiques. Dans [12], une approche probabiliste pour l'homogénéisation d'EDP parabolique semilinéaire a été proposée, qui apporte un nouveau point de vue sur ce type de problème. Puis, dans [13], la même idée a été appliquée au problème de perturbation singulière d'EDP.

Y. HU a continué l'étude des Equations Différentielles Stochastiques Progressives-Rétrogrades (EDSPR). D'une part, en [14], il a étudié des noyaux potentiels associés à une filtration à l'aide des EDSPR; l'existence d'une solution est obtenue aisément et aussi des propriétés sont dégagées. Ce travail résout un problème posé par Claude Dellacherie dans un exposé. D'autre part, il en a déduit certains résultats d'existence et unicité de solutions pour les EDSPR. En [15], il a montré l'existence et l'unicité de solutions pour les EDSPR avec des coefficients seulement continus et monotones sans condition de Lipschitz. En [16], il a montré l'existence d'une solution pour l'EDSPR unidimensionnelle associée à une diffusion non dégénérée, et en collaboration avec J.Yong en [17], il a enfin montré l'existence d'une solution pour l'EDSPR multidimensionnelle associée à une diffusion non dégénérée et même dégénérée. En appliquant ce résultat, en [17] également, il a déduit l'existence d'une solution de viscosité pour une EDP quasilinéaire parabolique dégénérée.

L'étude en contrôle stochastique, d'EDS progressives-rétrogrades avec coefficients aléatoires, et de la formule stochastique de Feynman-Kac nous a conduit à étudier les EDP stochastiques rétrogrades. Ce type d'équations a été seulement étudié, dans la littérature, soit dans le cas linéaire, soit dans le cas non-dégénéré. Avec J. Ma et J. Yong, dans [18], Y. HU s'est intéressé au cas le plus général, mais le plus difficile: le cas non-linéaire dégénéré. La technique de ``bootstrap" et des estimations a priori très fines leur ont permis de dégager des résultats assez généraux d'existence et d'unicité. Enfin, il a aussi obtenu une formule stochastique de Feynman-Kac.

Les équations de Riccati stochastiques sont des EDSR à croissance quadratique et à valeurs matrices. Ces équations viennent du contrôle stochastique linéaire-quadratique avec coefficients aléatoires. En collaboration avec X. Zhou, en [19], nous nous sommes intéressés à des équations de Riccati stochastiques ``indéfinies'', qui correspondent au problème de contrôle stochastique où les coûts du contrôle et de l'état pourront être négatifs. Des résultats d'existence et d'unicité sont établis pour ce type d'équations.

La formule de Feynman-Kac entre des EDSR et des EDP nonlinéaires est un grand classque de la théorie des EDSR. Mais jusqu'à maintenant, cette formule est seulement établie pour des EDSR ``Markoviennes''. Avec J. Ma, Y. HU, dans [20], a généralisé cette formule pour les EDSR de type ``fonctionnel-discret'', plus précisément, à valeur terminale $\xi=g(X_{t_1},X_{t_2},\cdots,X_{t_N})$ et à générateur de même type. Cette formule a donné lieu déjà à l'existence d'une solution pour ce type d'EDSR à générateur continu. Une autre application est envisageable pour l'évaluation de prix de certains options de ce type.

Manuella Royer a commencé sa thèse en septembre 2000. Elle a étudié une EDSR avec condition de monotonie sur le générateur à horizon aléatoire [21]. Actuellement elle a étudié l'espérance non linéaire dans l'espace de Wiener-Poisson.