Positive — Positivité en géométrie arithmétique, algébrique et analytique

Présentation et bibliographie

Introduction à la GIT

Il s'agit de présenter la GIT, on pourra suivre le chapitre 6 de la première partie du livre de Le Potier. Il faut aussi présenter le critère de stabilité de Mumford et présenter le cas de l'action de SL(2) sur l'espace de polynômes (chapitre 4 paragraphe 1 du livre de Mumford GIT ).

• Le Potier, J. Lectures on vector bundles. Translated by A. Maciocia. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. viii+251
• D. Mumford and K. Suominen, « Introduction to the theory of moduli ». Algebraic geometry, Oslo 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math.), pp. 171--222. Wolters-Noordhoff, Groningen, 1972.
• P. E. Newstead, « Introduction to moduli problems and orbit spaces ». Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics, 51. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay; by the Narosa Publishing House, New Delhi, 1978. vi+183 pp. ISBN: 0-387-08851-2

Semi-stabilité des fibrés vectoriels

Il s'agit de montrer les propriétés générales des fibres stables sur les courbes et les surfaces: en particulier montrer que les différents notions de (semi) stabilité coïncident sur les courbes. Dans le cas des courbes montrer aussi que les fibres semistables de degre et rang fixe' forment une famille limitée Une bonne reference est le chapitre 5 de la première partie du livre de Le Potier (loc. cit.) et aussi le paragraphe 1 du chapitre 5 du livre de Kobayashi.

• S. Kobayashi, Differential geometry of complex vector bundles.
• Le Potier, J. Lectures on vector bundles. Translated by A. Maciocia. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. viii+251
• Joseph Osterlé, « Construction de la variété de modules des fibrés vectoriels stables sur une courbe algébrique lisse ». Moduli of stable bundles over algebraic curves (Paris, 1983), 29–49, Progr. Math., 54, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1985.

Inégalité de Bogomolov-Miyaoka-Yau

1. Les inégalités sur les classes de Chern des fibrés (in)stables: Montrer l'inégalité de Bogomolov qu'on deduit de la semi stabilite' au sens de Bogomolov sur les surfaces.
2. Deduire des inegalites de Bogomolov sur les fibres et du theoreme de Castelnuovo De Franchis l'inegalite' de Bogomolov pour les surfaces de type general. Apres, decrire l'amelioration de Miyaoka. les references sont encore Raynaud et Reid, plus l'article original de Miyaoka

• Bogomolov, F. A. «&nbso;Holomorphic tensors and vector bundles on projective manifolds. » (Russian) Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 42 (1978), no. 6, 1227–1287, 1439.
• Miyaoka, Yoichi. « On the Chern numbers of surfaces of general type. » Invent. Math. 42 (1977).
• Raynaud, M. « Fibrés vectoriels instables—applications aux surfaces (d'après Bogomolov) ». (French) [Unstable vector bundles—applications to surfaces (after Bogomolov)] Algebraic surfaces (Orsay, 1976–78), pp. 293–314, Lecture Notes in Math., 868, Springer, Berlin-New York, 1981.
• Reid, Miles. « Bogomolov's theorem $c_1^2\leq c_2$ ». Proceedings of the International Symposium on Algebraic Geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), pp. 623–642, Kinokuniya Book Store, Tokyo, 1978.

Théorème de Reider et théorème d’annulation de Kodaira via la semi-stabilité

On peut déduire le théorème d'annulation de Kodaira de l'inégalité de Bogomolov. Dans le meme esprit on peut déduire la génération globale de la puissance 5 (il me semble) du canonique d'une surface de type général. Il s'agit de décrire ces deux résultats (les preuves sont très proches).

Éventuellement: Montrer des contrexemples au théorème d'annulation de Kodaira. Il y aussi des contrexemples a l'inégalité de BMY mais je n'ai pas trouvé la bibliographie (elle doit être contenue dans des travaux de Shepherd Barron ou Ekhedal). Voici une liste d'articles pour les contrexemples (mais elle n'est pas exhaustive):

• Bombieri, E. Canonical models of surfaces of general type. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 42 (1973), 171–219.
• Lazarsfeld, Robert Lectures on linear series. With the assistance of Guillermo Fernández del Busto. IAS/Park City Math. Ser., 3, Complex algebraic geometry (Park City, UT, 1993), 161–219, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997.
• Raynaud, M. Fibrés vectoriels instables—applications aux surfaces (d'après Bogomolov). (French) [Unstable vector bundles—applications to surfaces (after Bogomolov)] Algebraic surfaces (Orsay, 1976–78), pp. 293–314, Lecture Notes in Math., 868, Springer, Berlin-New York, 1981.
• Reid, Miles Bogomolov's theorem $c_1^2\leq c_2$ Proceedings of the International Symposium on Algebraic Geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), pp. 623–642, Kinokuniya Book Store, Tokyo, 1978.
• Reider, Igor Vector bundles of rank 2 and linear systems on algebraic surfaces. Ann. of Math. (2) 127 (1988), no. 2, 309–316.
• Mumford, D.Pathologies. III. Amer. J. Math. 89 1967 94–104.
• Raynaud, M.Contre-exemple au "vanishing theorem'' en caractéristique p>0. (French) C. P. Ramanujam—a tribute, pp. 273–278.

Degré canonique des courbes dans les surfaces de type général

• G. Tian, « Kähler-Einstein metrics on algebraic manifolds ». Transcendental methods in algebraic geometry (Cetraro, 1994), 143-185, Lecture notes in Mathematics, 1646, Springer, Berlin, 1996.
• Y. Miyaoka, ‘’The orbibundle Miyaoka-Yau-Sakai inequality and an effective Bogomolov-McQuillan theorem’’ Publ. RIMS, Kyoto Univ. 44 (2008), 403-417.

Version arithmétique du théorème de Cornalba-Harris: le théorème de Bost-Zhang

Étudier les versions geometriques et arithetiques des inegalites d’hauteurs qu’on peut obtenir a’ partir de la GIT. En particuliers les theoremes de Bost (cas Arithmetique) et de Cornalba Harris (cas geometrique)

• J.-B. Bost, « Semi-stability and heights of cycles ». Invent. Math. 118 (1994), no. 2, 223-253.
• M. Cornalba, J. Harris, « Divisor classes associated to families of stable varieties, with applications to the moduli space of curves », Ann. Sci. Éc. Norm. Sup. (4) 21 (1988), 455-475.
• C. Gasbarri, « Heights and geometric invariant theory ». Forum Math. 12 (2000), no. 2, 135--153.
• H. Chen, « Maximal slope of tensor product of Hermitian vector bundles ». J. Algebraic Geom. 18 (2009), no. 3, 575--603.
• R. Ferretti, « Positivity of heights of semistable varieties ». math/0402095.

Organisateurs

Christophe Mourougane, Carlo Gasbarri, Simone Diverio, Antoine Chambert-Loir