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Composition de l'équipe (2008-2009)

Responsable : D. Pétritis

Professeurs émérites : J.-P. Conze, Y. Guivarc'h.

Professeurs : B. Bekka, L.  Hervé (INSA), D. Pétritis, A. Raugi, A. Zorich.

Chargés de recherches (CNRS) : S. Cantat , Y. de Cornulier,  S. Gouëzel

Maîtres de conférences : Y. Coudène , S. Le Borgne, F. Maucourant, O. Radulescu.

Post-doctorants : T. Baumuratova

Doctorants : A. Crudu, D. Guibourg, J.-R. Heu, A.K. Ka, J.B. Lim, B. de Loynes, J. Marco, A. Moncet, V. Noël, M. Roger, T. Sierocinski.

Présentation générale et contexte

Rappelons brièvement le contexte d'où est issue la théorie ergodique des systèmes dynamiques.Elle a son origine dans les travaux de Boltzmann et de Gibbs en mécanique statistique et dans les travaux de Poincaré. L'«  hypothèse ergodique » a été formulée dans l'étude du système formé de particules dans un domaine en dimension 3, pour lequel on suppose connues les masses et les forces exercées. En mécanique classique déterministe l'évolution de l'état instantané du système peut être décrite par un flot de transformations à un paramètre (un système dynamique) opérant sur l'espace des phases et laissant invariante la mesure naturelle sur cet espace. L'hypothèse ergodique revient à supposer que la « plupart », des trajectoires s'équirépartissent, en un certains sens, sur les surfaces d'énergie constante de l'espace des phases et permet de remplacer asymptotiquement les moyennes temporellespar les moyennes spatiales.

À partir du cadre général rigoureux donné par le théorème de Birkhoff (1930), la théorie ergodique s'est développée avec pour objet l'étude du comportement asymptotique d'un système dynamique (itération d'une transformation, flot à un paramètre) à l'aide de ses mesures invariantes. Elle s'applique au cas déterministe (systèmes dynamiques définis par des équations différentielles) et, couplée avec la théorie des martingales, au cas probabiliste des processus stochastiques, en particulier de type markovien.

Les notions d'exposants de Lyapounov (ou caractéristiques), de codage symbolique, d'entropie, d'hyperbolicité (donnant la stochasticité de certaines classes de systèmes dynamiques et leur comportement « chaotique ») ont marqué le développement de la théorie ergodique au confluent des Probabilités, de l'Analyse et de la Géométrie. Les concepts mis en jeu se retrouvent au coeur de plusieurs domaines et fournissent des outils puissants en particulier en théorie des groupes et en arithmétique.

Les travaux de l'équipe s'inscrivent dans ce cadre et portent en grande partie sur l'étude des propriétés ergodiques et stochastiques de transformations et de processus (en particulier à valeurs matricielles).

Au-delà du cadre purement probabiliste, les méthodes sont appliquées à des problèmes de nature géométrique, arithmétique ou à des modèles de physique mathématique. Ceci conduit à une interaction avec d'autres équipes de l'IRMAR, particulièrement celles de Géométrie analytique et de Processus stochastiques et statistique. Par ailleurs, les méthodes de la théorie ergodique ont de nombreux domaines d'application: problèmes algorithmiques, milieux désordonnés en physique, modèles de population et systèmes dynamiques en biologie, informatique quantique, cryptographie quantique en télécommunication.

Activités

L'équipe organise un séminaire hebdomadaire dont le responsable est F. Maucourant), les lundis, de 14 h 00 à 15 h 00.



L'équipe organise régulièment des journées regroupant des chercheurs d'universités françaises et étrangères.

Thèmes de recherche

Théorie ergodique de systèmes dynamiques

Opérateurs de transfert et systèmes hyperboliques

Systèmes de type quasi-péoriodique

Théorie ergodique en mesure infinie

Dynamique de difféomorphismes de variétés

Réseaux et applications couplées

Géométrie ergodique

Flots de Teichmüller

Action des groupes non-commutatifs 

Dynamique des actions des groupes linéaires

Équirépartition

Algèbres d'opérateurs et théorie ergodique non-commutative

Algèbres de von Neumann

C*-algèbres

Probabilités, marches aléatoires, chaînes de Markov

Produits des matrices aléatoires

Méthodes spectrales

Marches aléatoires dans un envioronnement aléatoire

Applications interdisciplinaires

Biologie systémique, génomique

Physique, information et communication quantiques

Traitement du signal médical