Prérequis: Notions de base en probabilité, Martingales en temps discret.
Ce cours est un cours de base sur les processus en temps continu décomposé en deux parties. Dans la première partie, on reste autant que possible dans un cadre général, tandis que des applications seront développées dans la deuxième partie du cours.
Le premier chapitre du cours est consacré à l'introduction et à l'étude du Mouvement Brownien. On voit tout d'abord une construction intuitive du Mouvement Brownien, puis on le construit de façon rigoureuse en utilisant la preuve de Paul Lévy. On introduit alors la mesure de Wiener sur l'espace des fonctions continues. On étudie ensuite les propriétés du Mouvement Brownien : sa régularité, ses propriétés de stabilité et ses propriétés en tant que processus de Markov.
Le second chapitre du cours est consacrée tout d'abord à une brève introduction des processus en temps continu, puis à l'étude des martingales en temps continu. La plupart des propriétés des martingales en temps continu sont les mêmes que celles des martingales en temps discret, elles sont d'ailleurs souvent démontrées à l'aide du temps discret.
Dans le dernier chapitre du cours, on s'intéresse à la construction de l'intégrale d'Itô. On explique brièvement pourquoi une intégrale de type Stieltjes n'est pas possible en général (notamment si on veut intégrer par rapport au Mouvement Brownien). La construction de cette intégrale se fait pas à pas, tout d'abord en intégrant des processus simples par rapport à des martingales, en terminant par l'intégration de processus mesurables par rapport à des semimartingales. Dans ce chapitre, on se restreint à des processus continus, on évoque cependant à la fin du chapitre les points délicats pour les processus à sauts.
Une fois l'intégrale stochastique construite on démontre la formule fondamentale du calcul stochastique, la formule d'Itô.
Toute la suite du cours concernera des applications de cette formule en commençant par le mouvement brownien et les martingales. On abordera également la notion de temps local. On utilisera ces résultats pour étudier les solutions des équations différentielles stochastiques (existence, unicité) et leurs propriétés (processus de Markov, diffusions, problème de martingale etc).
On terminera par donner des exemples de quelques processus remarquables (pont brownien, Ornstein-Uhlenbeck, Bessel etc)
Références (principalement) :