Géométrie et topologie (Goulwen Fichou, Johannes Huisman
12 crédits)
Partie 1
Le
but est d'entamer l'étude des singularités de germes de fonctions
analytiques complexes, et d'arriver en particulier à la classification
des singularités simples (ADE) pour l'équivalence à droite. Pour cela,
on passe en revue des notions de géométrie analytique complexe
(préparation de Weierstrass, Nullstellensatz local, approximation de
Artin) puis on aborde plus précisément les singularités via la question
de la détermination finie d'un germe et l'étude des singularités
simples.
Références:
Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall series in Modern analysis
Hormander: An introduction to complex analysis in several variables, North-Holland mathematical library
De Jong, Pfister: Local analytic geometry: basic theory and applications, Advanced lectures in mathematics
Partie 2: Topologie de variétés algébriques réelles
Le
but de ce cours est de démontrer l'inégalité de Milnor-Thom. Cette
inégalité donne une borne supérieure à la complexité topologique d'une
variété algébrique réelle. Par variété algébrique réelle on entend ici
l'ensemble des solutions dans R^n d'un système d'équations polynomiales
en n variables. Pour la démonstration de cette inégalité, on aura
besoin de faire des rappels en topologie algébrique, d'étudier la
théorie de Morse, et de s'initier à la géométrie algébrique réelle.
Mots clés:
groupe d'homologie, nombres de Betti, complexe cellulaire, fonction de
Morse, inégalité de Morse, hypersurface algébrique réelle, variété
algébrique réelle, singularités, inégalité de Milnor-Thom