Cha�nes de Markov, syst�mes dynamiques et th�orie ergodique (Yves Coud�ne, Dimitri Petritis ; 12 cr�dits)

Partie Cha�nes de Markov

Partie Syst�mes dynamiques et th�orie ergodique

Ce cours est une introduction � la th�orie ergodique et � ses applications en syst�mes dynamiques. On cherchera � d�crire certaines classes de syst�mes dynamiques dont le comportement est � priori de type d�terministe, mais dont l'�tude fait appel � des outils de nature probabiliste.

La th�orie des syst�mes dynamiques cherche � d�crire le comportement � long terme de syst�mes qui �voluent au cours du temps. Ces syst�mes peuvent �tre issus de la physique, de la biologie, ou provenir de probl�matiques plus sp�cifiques comme le climat ou l'�tude des populations.

Lorsque le syst�me adopte un comportement de nature chaotique, ou en tout cas impr�visible � long terme, il est parfois possible d'utiliser des m�thodes issues de la th�orie des probabilit�s, pour faire une description statistique de son �volution : plut�t que de chercher � calculer explicitement la position du syst�me � un moment donn�, on cherche � d�terminer quelles sont les �tats les plus probables qu'il va visiter au cours de son mouvement.

Cette probl�matique, qui trouve son origine dans des consid�rations de physique statistique, poss�de des applications dans des domaines vari�s des math�matiques, comme l'algorithmique, la g�om�trie ou la th�orie des groupes. On en d�crira quelques-unes dans ce cours.


Plan du cours :

Le th�or�me ergodique en moyenne
Le th�or�me ergodique presque s�r
La propri�t� de m�lange
L'argument de Hopf
Quelques notions de Dynamique topologique
Conjugaison et isomorphisme
Lin�arisation des syst�mes dynamiques
Un attracteur �trange
Le concept d'entropie

Des notes sont disponibles � l'adresse suivante:
http://perso.univ-rennes1.fr/yves.coudene/#enseignement