Ce cours est une introduction à la théorie ergodique et à ses applications en systèmes dynamiques. On cherchera à décrire certaines classes de systèmes dynamiques dont le comportement est à priori de type déterministe, mais dont l'étude fait appel à des outils de nature probabiliste.
La théorie des systèmes dynamiques cherche à décrire le comportement à long terme de systèmes qui évoluent au cours du temps. Ces systèmes peuvent être issus de la physique, de la biologie, ou provenir de problématiques plus spécifiques comme le climat ou l'étude des populations.
Lorsque le système adopte un comportement de nature chaotique, ou en tout cas imprévisible à long terme, il est parfois possible d'utiliser des méthodes issues de la théorie des probabilités, pour faire une description statistique de son évolution : plutôt que de chercher à calculer explicitement la position du système à un moment donné, on cherche à déterminer quelles sont les états les plus probables qu'il va visiter au cours de son mouvement.
Cette problématique, qui trouve son origine dans des considérations de physique statistique, possède des applications dans des domaines variés des mathématiques, comme l'algorithmique, la géométrie ou la théorie des groupes. On en décrira quelques-unes dans ce cours.