Systèmes intégrables (Guy Casale, Vũ Ngọc San ; 12 crédits)
Ce cours, à cheval sur la géométrie et l'analyse, propose une initiation aux systèmes hamiltoniens complètement intégrables.
La
géométrie hamiltonienne est un formalisme extrêmement pratique pour
étudier certains types de systèmes dynamiques, en particulier ceux qui
proviennent de la mécanique classique.
Les systèmes intégrables
sont ceux qui, possédant un grand nombre d'intégrales premières, sont
les plus "faciles" à résoudre. La théorie des systèmes intégrables
permet également d'explorer les systèmes "proches" des systèmes
intégrables (comme dans les fameux théorèmes "KAM").
Le cours sera divisé en 4 parties:
1.
Notions de géométrie différentielle, variétés espaces tangents, formes
différentielles, géométrie symplectique, champs de vecteurs
hamiltoniens, systèmes intégrables à la Liouville.
2. Le
théorème des coordonnées actions-angles (Liouville-Mineur-Arnold).
Actions hamiltoniennes de tores, linéarisation. Cas torique, polytopes
moment, lien avec les matrices hermitiennes.
3. Forme normale de Birkhoff. Problème de la convergence. Théorème de Zung dans le cas analytique.
4. Théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) des perturbations des systèmes intégrables.