Université de Rennes 1

mercredi 3 octobre

Antonia Wachter

Bounds for list decoding Gabidulin codes

Gabidulin codes are the analogs of Reed-Solomon codes in rank metric. However, it is not known so far whether a polynomial time list-decoding algorithm beyond half the minimum distance can exist or not. During this seminar, I will first give a short introduction to codes in rank metric and explain the motivation of bounding the list size when decoding beyond half the minimum distance.
Then, I will prove two bounds on the list size, one upper bound and one lower bound. The lower bound shows that polynomial list-decoding is not possible beyond a certain radius.

mercredi 10 octobre

Cécile Le Rudulier

Les conjectures de Batyrev-Manin

À partir de la fin des années 1980, Manin et certains co-auteurs ont cherché à comprendre le comportement asymptotique du nombre de points rationnels de hauteur bornée d'une variété projective, ce qui les a amenés à énoncer plusieurs conjectures. Dans cet exposé, je ferai le point sur la notion de hauteur puis, je formulerai les conjectures telles qu'énoncées par Batyrev et Manin en 1990. Enfin, j'essayerai de donner un panorama des résultats obtenus depuis.

mercredi 17 octobre

Gwezheneg Robert

Codes de Gabidulin généralisés

Les codes de Gabidulin utilisent la métrique rang et la notion de polynômes linéarisés. Une méthode de décodage repose sur le problème de reconstruction de tels polynômes. Tout cela se passe dans des corps finis.
Dans cet exposé, je présenterai une généralisation à des corps quelconques ainsi qu'une condition suffisante pour garantir les propriétés essentielles (codes MRD et décodage) et préciserai le cas des extensions de Kummer.

mercredi 24 octobre

Emmanuel Fouotsa

Un nouveau modèle d'Edwards de courbe elliptique avec arithmétique efficace

En 2007, Edwards a introduit un modèle de courbe elliptique défini en caractéristique impaire avec une loi de groupe non complète. Cette lacune sera comblée en 2008 par Bernstein et al. qui généralisent ce modèle. Toutefois ce modèle reste défini en caractéristique impaire. Entre 2008 et 2009, des modèles binaires vont être proposés mais la relation avec le modèle original reste mystérieuse. Dans cet exposé, je présente un nouveau modèle d'Edwards défini en toute caractéristique et qui étend bien le modèle original en caractéristique impaire. L'obtention de ce modèle et la loi de groupe se fait grâce aux fonctions théta. En particulier, notre modèle présente une arithmétique efficace et compétitive sur la ligne de kummer, comparativement aux autres modèles de courbes elliptiques.
(Référence de l'exposé.)

mercredi 7 novembre

Tristan Vaccon

Algorithme F5 matriciel et évaluation de sa perte de précision. Application vers un calcul de base de Gröbner p-adique.

Jean-Charles Faugère a proposé en 2002 un nouvel algorithme de calcul de bases de Gröbner dont le principe, étudié ensuite par Magali Bardet en 2004, est entièrement matriciel : l'algorithme F5 matriciel. Il se trouve à ce jour parmi les algorithmes les plus rapides pour le calcul d'une base de Gröbner. Après une présentation de cet algorithme, nous verrons qu'il peut être adapté pour étudier le calcul d'une base de Gröbner de polynômes connus de manière approchée, et en particulier, contrôler les pertes de précision dans ce calcul.
On s'intéressera plus particulièrement au cas du calcul d'une base de Gröbner sur Q_p.

Références :
Jean-Charles Faugère. A new efficient algorithm for computing Gröbner bases without reduction to zero (F5). In Proceedings of the 2002 international symposium on Symbolic and algebraic computation, ISSAC '02, pages 75-83, New York, NY, USA, 2002. ACM.
M. Bardet, "Étude des systèmes algébriques surdéterminés. Applications aux codes correcteurs et à la cryptographie", thèse de doctorat, Université Paris VI, Décembre 2004.

mercredi 21 novembre

Élise Goujard

Courbes de Teichmüller

Après avoir expliqué ce que sont les courbes de Teichmüller et leur utilité dans l'étude de la dynamique sur les surfaces plates, je donnerai un critère pour déterminer si une courbe plongée dans l'espace de module des surfaces de Riemann, munie d'un sous-fibré du fibré de Hodge, est une courbe de Teichmüller.

mercredi 28 novembre

Damien Davy

La sphère d'homologie de Poincaré

Nous verrons deux constructions de la sphère d'homologie de Poincaré : le diagramme de Heegard et la chirurgie de Dehn. Cet exemple aura permis à Poincaré de reformuler sa propre conjecture sur la sphére S³ en terme d'homotopie plutôt qu'en terme d'homologie.

mercredi 5 décembre

Viet Dang Nguyen

Une introduction à la théorie quantique des champs par les algèbres de Hopf.

Cet exposé décrira le formalisme de la théorie quantique des champs développé par Brouder, Borcherds et faisant intervenir les algèbres de Hopf et la notion de Causalité. On montrera également comment retrouver les diagrammes de Feynman avec le formalisme des algèbres de Hopf.

mercredi 12 décembre

Sandrine Caruso

Les invariants de conjugaison

Le but de cet exposé est de présenter la notion d'invariant de conjugaison, dans les groupes de tresses. On verra comment ces invariants sont utilisés dans l'espoir de trouver un algorithme polynomial pour résoudre le problème de conjugaison dans les groupes de tresses, quelles sont les avancées actuelles à ce sujet, et les résultats positifs ou négatifs que l'on possède.

mercredi 19 décembre

Charles Savel

J'expliquerai ce qu'est une variété algébrique affine, qui est un objet géométrique défini par des équations polynomiales, et comment on peut définir un espace tangent à une telle variété.

jeudi 24 janvier

Adrien Le Boudec

Groupes agissant sur des arbres

Hyman Bass et Jean-Pierre Serre ont développé dans les années 70 une théorie ayant pour but de décrire la structure algébrique d'un groupe agissant sur un arbre. Cet exposé consistera en la description des deux exemples fondamentaux : il existe un dictionnaire entre produits amalgamés de groupes (resp. extensions HNN) et actions sur un arbre avec quotient un segment (resp. un lacet).
Nous expliquerons en particulier pourquoi SL(2,Qp) est un amalgame de deux copies de SL(2,Zp) et comment les groupes de Baumslag-Solitar agissent sur un arbre avec stabilisateurs cycliques.

jeudi 31 janvier

Romain Basson

Algèbre d'invariants des formes binaires en caractéristique positive

Le développement d'une algorithmique pour les espaces de modules de courbes hyperelliptiques (en petit genre) peut s'envisager via la théorie classique des invariants des formes binaires. La description et la construction effective de ces algèbres d'invariants en caractéristique nulle ont débuté dans la seconde moitié du XIXème siècle, donnant d'ailleurs naissance aux prémices de l'algèbre commutative, et culminé en 1967 avec les résultats de Shioda concernant les octiques (qualifiés de « tour de force » par Mumford !). En revanche, le cas de la caractéristique positive reste largement ouvert, notamment pour les octiques. Ainsi, après avoir donné un aperçu de la théorie classique, j'exposerai les résultats actuels concernant la caractéristique positive.

jeudi 7 février

Kodjo Kpognon

Module des dérivations d'une courbe algébrique affine sur un corps de caractéristique nulle.

Si k est un corps de caractéristique nulle et X = Spec (A) une courbe algébrique affine définie par un polynôme f de k[x,y], alors un système générateur minimal du A-module des k-dérivations Der_k (A) de X est de cardinal au plus 2. Si X admet des singularités quasi-homogènes, alors on a :

Der_k (A) = A δ_n + A δ_e,

où δ_n est la dérivation naturelle de X et δ_e la dérivation de Euler de X.

jeudi 21 février

Gwezheneg Robert

Métrique rang et codes de Gabidulin en caractéristique zéro.

Après avoir introduit les θ-polynômes et précisé plusieurs de leurs propriétés (notamment le lien entre leur degré et la dimension de l'espace des racines, ainsi que la construction d'un θ-polynôme s'annulant sur un espace donné), je donnerai 4 notions de métrique "rang". Nous verrons qu'il n'y a en fait que deux métriques distinctes, et que celles-ci sont égales sous une hypothèse raisonnable. Enfin, nous verrons comment généraliser les codes de Gabidulin (codes en métrique rang) à des corps de caractéristique nulle, ainsi qu'un algorithme de décodage qui se généralise également.

Remarque : J'ai déjà parlé de codes de Gabidulin au séminaire. Cet exposé reprend pour moitié le contenu du précédent. Ce qui est vraiment nouveau concerne les métriques rang. Néanmoins, les autres parties ont été complétées et certaines démonstrations ont été réécrites.

mercredi 6 mars

Camille Horbez

Une invitation à la géométrie des groupes : le cas Out(F_n)

Je proposerai une brève introduction aux idées de la géométrie des groupes : comment déduire des propriétés algébriques d'un groupe à partir de l'étude de son action sur un espace topologique ? Je présenterai en particulier la construction de deux espaces naturellement associés au groupe Out(F_n) des automorphismes extérieurs d'un groupe libre de type fini, et expliquerai comment l'étude de ces espaces peut nous aider à comprendre le groupe Out(F_n).

jeudi 14 mars

Sandrine Caruso

Autour de la généricité des tresses pseudo-Anosov

Les tresses peuvent être classifiées en trois types : périodiques, réductibles, et pseudo-Anosov. De manière expérimentale, il semblerait que « la plupart » des tresses soient pseudo-Anosov. Cette affirmation peut-être interprétée en plusieurs sens, et elle a été démontrée pour certains d'entre eux. Nous nous intéresserons dans cet exposé à l'interprétation suivante : on cherche à évaluer la proportion des tresses pseudo-Anosov dans la boule de rayon l du graphe de Cayley avec partie génératrice les tresses simples, et l'idéal serait de montrer que cette proportion tend vers 1 lorsque l tend vers l'infini. On ne sait pour l'instant démontrer qu'un résultat moins fort, qui est que cette proportion ne tend pas vers 0.
Cet exposé se veut abordable y compris pour les non-spécialistes de la théorie géométrique des groupes. Tous les termes techniques de ce résumé y seront explicités, et le plan général de la preuve formulé. Si le temps le permet, j'en détaillerai certains points.

jeudi 21 mars

Vincent Jugé

Une forme normale régulière pour les groupes de tresses

Les formes normales ayant des propriétés spécifiques (régulières, géodésiques) sont un outil puissant en combinatoire énumérative et en algorithmique des groupes. Nous présenterons et étudierons brièvement de telles propriétés. Puis nous nous intéresserons aux diagrammes de courbes, qui sont des représentations graphiques des tresses à l'origine de la construction d'une forme normale régulière pour les groupes de tresses.

jeudi 28 mars

Damien Davy

Exemples de solitons de Ricci

jeudi 4 avril

Arnaud Girand

Monodromie, variétés de caractères et cubique de Cayley.

D'après Wikipédia, la monodromie est « l'étude du comportement de certains objets mathématiques lorsqu'on tourne autour d'une singularité ». Pour effectuer ce type de promenade, il peut être intéressant de jeter un œil aux groupes fondamentaux d'un certain nombre de surfaces « à trous » et plus particulièrement à leurs représentations.
Après avoir introduit par de grands mouvements de bras les notions de monodromie et de variétés de caractères, on s'intéressera à une famille de surfaces cubiques particulière qui apparaît dans l'étude de ces dernières avec une insistance que l'on pourrait qualifier de louche. Si le temps le permet, nous profiterons de la présence de ces surfaces pour y faire agir quelques groupes et regarder certains de leurs automorphismes.

Références :

• S. Cantat et F. Loray : Holomorphic dynamics, Painlevé VI equation, and character varieties ; Annales de l'Institut Fourier, Vol. 59 no. 7 (2009), p. 2927-2978
• S. Cantat : Bers and Hénon, Painlevé and Schroedinger ; Duke Math. Journal, vol 149 (2009), no. 3, pp. 411-460

jeudi 18 avril

Bruno Grenet

Algorithmes de factorisation des polynômes lacunaires

Le problème de la factorisation des polynômes consiste à calculer, pour un polynôme donné, la liste de ses facteurs irréductibles avec leurs multiplicités. Les (nombreux) algorithmes classiques pour ce problème sont de complexité polynomiale en le degré du polynôme. Ils sont donc inadaptés aux polynômes lacunaires, c'est-à-dire de très haut degré mais avec peu de monômes non nuls.
Dans mon exposé, j'esquisserai les méthodes connues pour factoriser des polynômes lacunaires à coefficients dans un corps de nombres. Je présenterai ensuite une nouvelle approche, plus simple et plus générale car s'appliquant à un plus grand nombre de corps de base.
Mon exposé ne nécessitera aucun pré-requis d'informatique, le seul pré-requis étant de savoir ce qu'est un polynôme (et encore...).

mercredi 22 mai

Margot Bouette

Problème d'isomorphisme pour les groupes GBS

Un groupe de Baumslag-Solitar généralisé (appelé groupe GBS) G est un groupe agissant sur un arbre T avec des stabilisateurs d'arêtes et de sommets cycliques infinis, T est appelé arbre GBS. Le graphe quotient a une structure de graphe de groupes avec un marquage (une identification entre G et le groupe fondamental du graphe de groupes). L'ensemble de ces données peut être représenté dans un graphe étiqueté (graphe connexe dont toutes les arêtes orientées sont étiquetées par un entier non nul). Un groupe GBS peut admettre une ou plusieurs descriptions sous forme de graphe étiqueté.
Le problème d'isomorphisme pour les groupes GBS consiste à trouver un algorithme qui, étant donné deux graphes étiquetés, détermine si les groupes correspondants sont isomorphes.

Dans un premier temps, j'introduirai et définirai toutes les notions essentielles à la compréhension du problème d'isomorphisme pour les groupes GBS puis j'exposerai les principaux résultats amenant à la résolution de ce problème dans deux cas particuliers.

jeudi 30 mai exceptionnellement en salle 114 du bâtiment 27

Basile Pillet

Un exemple de variété non-projective : le threefold de Nagata.

Il y a toujours deux façons de décrire un objet géométrique : implicite (lieux des zéros d'une fonctions) ou paramétré. Passer de l'un à l'autre occupe les mathématiciens depuis très longtemps. Le fameux théorème des fonctions implicites, par exemple, ne sert qu'à ça. En géométrie algébrique le passage n'est pas toujours aussi simple.
En particulier, une variété algébrique sera (pour nous, pas pour Grothendieck) un recollement d'ouverts de Cⁿ ayant « suffisamment » de fonctions méromorphes et une variété projective le lieu d'annulation de polynômes homogènes dans Pⁿ. Les dernières sont des variétés algébriques et sont toujours compactes (fermées dans un compact).
La question c'est « Est-ce qu'une variété algébrique compacte est projective ? »
La réponse est oui en dimension 1 et quasi-oui en dimension 2. La variété de Nagata est un magnifique contre-exemple en dimension 3, je passerai la plus grande partie de l'exposé à essayer de la dessiner (ce qui est voué à l’échec car elle n'est pas projective) et si j'ai le temps je donnerai des idées pour démontrer la non-projectivité.

jeudi 6 juin

Arnaud Girand

Dynamique holomorphe sur certaines variétés de caractères

On commencera cet exposé en se ré-accointant avec une certaine famille de cubique, avant de les compactifier pour s'intéresser au comportement à l'infini de certains de leurs automorphismes. On pourra profiter de l'occasion pour parler un peu de quelques transformations du disque de Poincaré. Enfin, nous mettrons en application les outils de la dynamique complexe à une certaine classe d'opérateurs de Schrôdinger discrets.
Cet exposé ne pré-requiert pas d'avoir assisté à la précédente itération des élucubrations de l'orateur.

Références :
- S. Cantat : Bers and Hénon, Painlevé and Schroedinger ; Duke Math. Journal, vol 149 (2009), no. 3, pp. 411-460.

jeudi 13 juin

Yvan Ziegler

De la conjecture de Weil à des algorithmes de comptage de points sur des courbes algébriques.

Je commencerais par quelques petits rappels sur les courbes algébriques et les fonctions zêta associées. Ensuite j'en viendrais à la conjecture de Weil dans le cas des courbes algébriques; j'expliquerais avec les mains une idée de la preuve (mais ça restera TRÈS informel, pas de schéma, pas de Grothendieck...). Finalement, à partir de ça, j'exposerais l'idée d'algorithmes à la Kedlaya qui calculent les fonctions zêta des courbes, et donc en particulier les cardinaux des courbes et de leur Jacobiennes.

jeudi 20 juin

Quentin Gendron

Surfaces plates : un concept qui dégénère.

Dans mon exposé je définirai la notion de surface plate de plusieurs points de vue. Cela me permettra de « définir » l'espace de module des surfaces plates, et certaines notions associées : sa compactification de Deligne-Mumford et sa stratification par le type de surface plate. Je finirai en présentant certaines relations entre la compactification et la stratification pour les surfaces de genre trois.