Université de Rennes 1

mercredi 21 septembre

Damian Brotbek

Equations différentielles et plongements projectifs.

Résumé : Étant donnée une variété projective lisse X, il est naturel de se demander quelle est la dimension du plus petit espace projectif dans lequel on peut plonger X. Tout d'abord, je rappellerai ce que l'on peut dire de ce problème pour une variété X quelconque. Ensuite, je montrerai en quoi l'existence de certaines équations différentielles sur X est une obstruction à l'existence de certains plongements projectifs.

mercredi 28 septembre

Jérémy Le Borgne

Phi-modules et polygones de Newton

Résumé : Je présenterai les notions de polynômes tordus et de phi-modules, ainsi que les liens entre elles. J'expliquerai ensuite comment, dans le cas des phi-modules sur un corps de séries formelles, on peut comprendre une filtration du phi-module par ses pentes en termes de pentes du polygone de Newton d'un polynôme tordu.

mercredi 5 octobre

Tristan Vaccon

Bases de Gröbner et calcul effectif sur les idéaux de k[X_1,...,X_n] (1re partie)

Résumé : Avec l'algorithme d'Euclide et le calcul du pgcd, les questions de l'appartenance à un idéal ou du calcul d'un générateur de l'intersection de deux idéaux dans k[X] sont faciles. Nous allons voir que ces questions peuvent aussi être résolues dans le cas de k[X_1,...,X_n], bien qu'il ne soit ni euclidien, ni même principal. Pour cela, on développera les premiers éléments de la théorie des bases de Gröbner, et on verra que c'est l'outil par excellence du calcul effectif sur k[X_1,...,X_n]. Dans cette première séance, on verra ce qu'est une base de Gröbner, et comment elle peut être calculée. Ceci nous permettra de donner un algorithme permettant de décider de l'appartenance d'un polynôme de k[X_1,...,X_n] à un idéal donné. Au passage, on aura montré, par l'existence des bases de Gröbner, le caractère noethérien de k[X_1,...,X_n].

mercredi 12 octobre

Tristan Vaccon

Bases de Gröbner et calcul effectif sur les idéaux de k[X_1,...,X_n] (2ème partie)

Résumé : Ayant construit l'outil que sont les bases de Gröbner, nous avons pu répondre, dans le précédent exposé, à la question de l'appartenance à un idéal donné de k[X_1,...,X_n]. Dans ce second exposé, nous allons considérer des questions plus compliquées. Nous verrons comment on peut, en travaillant avec les bases de Gröbner, faire de l'élimination, calculer l'intersection de deux idéaux, un quotient d'idéaux, la dimension d'un idéal et, pour finir, si le temps le permet, le radical d'un idéal (en caractéristique nulle), et peut-être une ouverture vers la théorie des invariants effective, sujet d'un futur exposé.

mercredi 19 octobre

Cécile Le Rudulier

Hauteurs sur l'espace projectif, théorème de Northcott

Résumé :  Après avoir défini la hauteur usuelle d'un point algébrique de l'espace projectif, je montrerai le théorème de Northcott, qui nous dit que le nombre de points algébriques de hauteur et de degré bornés est fini.   Ce théorème mène à l'étude du comportement asymptotique du nombre de points algébriques de hauteur bornée, lorsque cette borne tend vers l'infini; j'en présenterai les résultats connus.

mercredi 9 novembre

Charles Savel

Groupe fondamental étale

Étant donné un espace topologique connexe ayant de bonnes propriétés, le groupe fondamental « classique » classifie ses revêtements topologiques. De la même manière, on aimerait classifier les revêtements étales d'un schéma connexe, et le groupe fondamental étale répond à ce problème. J'expliquerai ce qu'est un revêtement étale, l'analogue en géométrie algébrique des revêtements topologiques, ce qu'on entend par « classifier des revêtements », et très rapidement comment on construit le groupe fondamental étale. Je terminerai en expliquant ce qu'on obtient dans le cas du spectre d'un corps et d'une courbe projective lisse complexe.

mercredi 16 novembre

Jeroen Sijsling

Dessins d'enfants et formes modulaires

Les dessins d'enfants sont des revêtements de la droite projective ramifiés en seulement trois points. Comme suggéré par le nom, ils sont dans un sens faciles à décrire : chaque dessin sur un objet topologique fournit un tel revêtement. D'un autre côté, étant donné un dessin, il n'est pas très facile de déterminer une formule pour le revêtement correspondant.

Cet exposé indiquera comment faire ces calculs, et montrera aussi les liens entre dessins d'enfants et calcul explicite de formes modulaires pour certains sous-groupes discrets de SL₂(R).

mercredi 23 novembre

Élise Goujard

Surfaces de translation

Ma motivation sera l'étude de la dynamique dans certains billards polygonaux, c'est-à-dire l'étude d'une trajectoire à long terme d'une boule de billard sur une table en forme de polygone. J'introduirai la notion de surfaces de translation et leur espace de module associé, et j'essaierai de faire apparaitre le lien entre la dynamique du billard et la dynamique du flot géodésique sur l'espace de modules associé, et pour cela je parlerai d'exposants de Lyapunov (si le temps le permet..).

mercredi 30 novembre

Romain Basson

Algèbre d'invariants pour les courbes hyperelliptiques

Afin de décider si deux courbes elliptiques sont isomorphes, on dispose d'un critère numérique classique : le j-invariant. Il est naturel de chercher à obtenir de tels invariants pour des courbes de genre supérieur. Je m'intéresserai plus spécifiquement au cas des courbes hyperelliptiques, pour lesquelles j'exposerai les outils permettant la construction effective d'algèbre d'invariants (ce qui permettra au passage de retrouver les résultats concernant les courbes elliptiques).

mercredi 7 décembre

Matthieu Legeay

Les codes de Reed-Muller et leur groupe de permutations

Des Fonctions booléennes aux codes de Reed-Muller, il n'y a qu'un pas ! Je vous propose un rapide rappel sur la théorie des codes correcteurs d'erreur avant de s'intéresser aux codes de Reed-Muller. Ce sont des codes bien connus et très faciles à décoder. Ils ont de plus l'avantage de posséder un bon groupe de permutations. Voyons comment on peut utiliser ces permutations sur les mots du code pour former de nouveaux sous-codes.

mardi 10 janvier

Sandrine Caruso

Combinatoire du point de croix

Dans cet exposé, j'expliquerai une technique de broderie classique : le point de croix, et je m'intéresserai à la question de minimiser la quantité de fil utilisée. J'exposerai le cas des dessins 4-connexe (notion que je définirai), pour lequel le problème est résolu. Si le temps le permet, j'évoquerai ce que l'on peut dire (et ne pas dire) au sujet de cas plus généraux.

mardi 17 janvier

Fabien Priziac

Suites spectrales et homologie équivariante

Introduites par Jean Leray en 1946, les suites spectrales constituent un outil très puissant de calcul homologique, utilisé aujourd'hui dans de nombreux domaines. On peut concevoir une suite spectrale comme un livre dont chacune des pages est calculée à partir de la précédente et dont la dernière nous donne non seulement l'homologie que l'on cherchait à calculer par ce biais mais nous permet également de mieux la comprendre. Dans cet exposé, j'introduirai les définitions et propriétés de base des suites spectrales, mais j'essaierai de passer assez vite à des exemples de calculs concrets, géométriques, visuels, notamment celui de l'homologie équivariante de variétés munies d'une action de groupe via la suite spectrale de Hochschild-Serre.

mardi 24 janvier

Kodjo Kpognon

Introduction à la notion de schéma des arcs tracés sur une variété algébrique et théorème d'irréductibilité de Kolchin.

Nous énonçons et démontrons le théorème d'irréductibilité de Kolchin sans recourir à l'existence d'une résolution des singularités en caractéristique nulle, mais en transcrivant dans le langage de la géométrie algébrique moderne, l'énoncé et la preuve d'algèbre différentielle d'origine fournissant ainsi une démonstration élémentaire du théorème d'irréductibilité de Kolchin dont voici l'énoncé :
Théorème d'irréductibilité de Kolchin. Soient k un corps de caractéristique nulle et I un idéal de k[x₁,...,x_n]. Si I est premier, alors l'idéal différentiel réduit {I} engendré par I est un idéal différentiel premier de k{x₁,...,x_n}.

mardi 31 janvier

Carl Tipler

Déformations des variétés kählériennes toriques à courbure scalaire constante

Soit (X,g) une variété kählérienne torique à courbure scalaire constante (CSC). On s'intéresse à l'existence de métrique CSC sur des petites déformations complexes X' de X. On montre que l'on peut réduire ce problème à un calcul de stabilité au sens GIT sur l'espace des déformations infinitésimales H¹(X,TX). Dans le cas torique, on calcule explicitement ce critère ce qui fournit de nouveaux exemples de variétés kählériennes CSC.

mardi 28 février

Basile Deloynes

Autour de la moyennabilité

Dans cette introduction à la moyennabilité, j'expliquerai comment le paradoxe de Banach-Tarski est lié à la non moyennabilité du groupe libre sur deux générateurs. Dans un deuxième temps, je donnerai le cadre théorique de la moyennabilité ainsi que des exemples de groupes moyennables et non moyennables.

mardi 6 mars

Arnaud Moncet

Un exemple de difféomorphisme birationnel du tore

Soit X la surface rationnelle réelle P¹ × P¹. Je vais montrer comment construire un difféomorphisme birationnel f de X — c'est-à-dire un difféomorphisme de X(R) qui se prolonge en une application birationnelle sur X(C) — qui possède les propriétés suivantes :

• f est conjugué à une rotation sur le tore X(R), ainsi que sur un voisinage de X(R) dans X(C) ;
• f possède cependant une dynamique riche sur X(C).

Cette construction est assez similaire à celle due à Herman d'un endomorphisme réel de P¹ de degré d > 1 qui est conjugué à une rotation sur un voisinage de P¹(R) dans P¹(C).

mardi 13 mars

Jérémy Le Borgne

Polynômes tordus sur les corps finis

L'anneau des « polynômes tordus » sur un corps fini est un anneau de polynômes non commutatif qui n'est pas un anneau factoriel, mais dans lequel il existe des factorisations en produits d'irréductibles. Ore, qui a étudié ces anneaux le premier, a donné un analogue de « l'unicité de la factorisation » via la notion de similarité. En 1998, Giesbrecht a donné un algorithme efficace de factorisation de ces polynômes. Je présenterai un autre algorithme, plus efficace, pour la factorisation des polynômes tordus sur un corps fini.

mardi 20 mars

Elise Goujard

Application période et monodromie

Après avoir expliqué comment apparait l'application période dans le problème des billards, j'en donnerai la définition sur l'espace de déformation des surfaces de Riemann, et les propriétés sur l'espace des courbes elliptiques en particulier. Je ferai le lien avec la notion de monodromie sur cet espace.

mardi 27 mars
exceptionnellement à 14h

Dmitry Todorov

Titre à venir

Résumé à venir

mardi 3 avril à 15h

Jérémy Le Borgne

Soutenance de thèse : Représentations galoisiennes et phi-modules : aspects algorithmiques