Université de Rennes 1

mercredi 17 septembre

Daniel Plaumann, Tim Netzer

Positivity and sums of squares

Abstract : We discuss algebraic characterisations of positivity for polynomials in several variables. Several basic concepts and results will be illustrated by means of an elaborate example.

mercredi 24 septembre

Lionel Chaussade

La loi de Benford

Résumé : Il est étrange de remarquer qu'il y a 6 fois plus de 1 que de 9 comme premier chiffre significatif de la suite des puissances de 2, de 3, de Pi, de la suite de Fibonacci, de la suite des carrés, des factorielles, des nombres de la bourse, du nombre d'habitants des communes françaises...
Je vais essayer d'expliquer pourquoi !

mercredi 1er octobre

Sabine Burgdorf

Almost non-commutative sums of squares

Abstract : It is well known that a binary polynomial with real coefficients which is nonnegative on R^2 is a sum of squares of polynomials. Helton proved in 2002 that a polynomial in non commuting variables with real coefficients which is "matrix-positive" is a sum of (hermitian) squares of non commuting polynomials. What happens if we allow some commutativity, i.e., if we allow cyclic permutations of the non commuting variables? First of all, a sum of hermitian squares modulo cyclic permutations is not necessarily matrix-positive but the trace is non negative whenever we replace the variables X and Y by symmetric matrices A,B of arbitrary size.
On the basis of the BMV conjecture, which will be explained in the talk, we will describe a method to test numerically if a polynomial is a sum of hermitian squares modulo cyclic permutations, and present some results. Further we will show that "trace-positivity" is in general not sufficient for a polynomial to be a sum of hermitian squares modulo cyclic permutations.

mercredi 8 octobre

Jonathan Marco

Un modèle de billard plan

Résumé : On étudie le comportement d'une bille dans un billard plan muni d'obstacles disposés périodiquement. On étudie la minimalité, la récurrence et l'ergodicité en fonction des paramètres du problème.

mercredi 15 octobre

Thierry Limoges

Structure de Hodge mixte sur la fibre de Milnor

Résumé : Je parlerai de décomposition de Hodge sur la cohomologie de De Rham d'une variété complexe, définirai la notion de structure de Hodge mixte, la fibre de Milnor, la monodromie. Avec des exemples bien sûr.

mercredi 22 octobre

Noura Okko

Le polynôme minimal d'une des solutions algébriques
d'une équation différentielle linéaire homogène de degré 2

Résumé : Le groupe de Galois d'une équation différentielle linéaire homogène de degré n L agit naturellement sur l'espace des solutions de L. D'après cette action on va définir les invariants et les semi-invariants de G. On va exprimer le polynôme minimal d'une solution en fonction des invariants et semi-invariants dans le cas où n=2 et toutes les solutions de L sont algébriques.

mercredi 5 novembre

Jérémy Le Borgne

Autour du théorème d'Ax-Sen-Tate

Résumé : Soit p un nombre premier, Qp le corps des nombres p-adiques. Cp est le complété de sa clôture algébrique \bar{\Q_p}. Si L est une extension finie de Qp, On fait agir par continuité le groupe de Galois de \bar{\Q_p}/L sur Cp, et on s'intéresse aux points fixes de Cp sous cette action. Le théorème d'Ax-Sen-Tate affirme que c'est exactement L. Je présenterai l'approche d'Ax et celle de Tate, qui sont sensiblement différentes, et j'expliquerai comment il est peut-être possible d'améliorer le résultat d'Ax qui conduit à la démonstration de ce théorème, en adaptant les idées de Tate.
Le mémoire de M2 de Jérémy

mercredi 12 novembre

Arnaud Moncet

Un exemple de groupe d'automorphismes d'une surface K3 réelle

Résumé : Je vous présenterai la construction d'une surface K3 réelle telle que :
1. la partie réelle est une surface de genre 3 (orientable connexe),
2. le groupe des automorphismes est le produit libre de trois involutions et préserve la structure réelle,
3. chaque automorphisme est uniquement déterminé par la classe d'isotopie de sa restriction à la partie réelle de la surface. Autrement dit, le groupe des automorphismes de la surface s'injecte dans le mapping class group de la partie réelle. Ce fait est particulièrement remarquable, car on a ici un "gros" groupe d'automorphismes (il contient un sous-groupe libre à deux générateurs), dont l'image dans le groupe des difféomorphismes de la partie réelle est discrète.
La surface que je vais construire pour aboutir à un tel exemple sera une déformation d'une certaine surface de Kummer singulière, donnée par le produit de deux courbes elliptiques réelles.
Le mémoire de M2 d'Arnaud

mercredi 26 novembre

Damian Brotbek

L'invariance des plurigenres par déformation

Résumé : Sur une variété projective complexe X, le m-ième plurigenre est la dimension de l'espace des m-formes canoniques, $P_m(X):=h^0(X,mK_X)$. Siu a démontré que les plurigenres étaient invariants sous déformation de X. En toute généralité la preuve repose sur des méthodes transcendantes, mais dans le cas des variétés de type général il est possible de donner une preuve algébrique. Je vais tenter d'expliquer ces démonstrations et de developper le language des idéaux multiplicateurs qui permet de donner une preuve algébrique dans le cas des variétés de type général.

mercredi 3 décembre

Damian Brotbek

L'invariance des plurigenres par déformation (suite et fin)

mercredi 17 décembre

Rodolphe Richard

La conjecture des périodes de Grothendieck

Résumé : La conjecture des périodes de Grothendieck est un énoncé très général sur les variétés algébriques, les nombres transcendants et les valeurs d'intégrales.
Nous introduirons la notion de périodes et présenterons quelques problèmes classiques avant de donner une formulation de l'énoncé général de la conjecture, et d'en présenter quelques conséquences.

mercredi 14 janvier

Gaël Cousin

Tout sous-groupe d'un groupe libre est libre

Résumé : On utilise la description d'un groupe libre comme groupe fondamental d'un bouquet de cercles pour connaître la structure de ses sous-groupes. La preuve donne un moyen relativement efficace de calcul d'un système de générateurs pour un sous-groupe donné. Les outils utilisés sont les revêtements et un peu de théorie des graphes.

mercredi 4 février

Gweltaz Chatel

Les conjectures de Weil

mercredi 11 février

Gweltaz Chatel

Les conjectures de Weil (suite)