Séminaire de Géométrie Algébrique de Rennes - Exposé du 5 janvier 2006

 

Michel Granger (Angers)

 

Titre : Sur la propriété de comparaison logarithmique en dimension 3.

Résumé :

Soit $ D$ un diviseur réduit dans $ \mathbb{C}^n$. On considère suivant K. Saito le complexe $ \Omega ^{\bullet} ($log $ D)$ des formes différentielles logarithmiques à pôles le long de $ D$ et le module des champs de vecteurs logarithmiques Der(-log ($ D$)), c'est à dire des champs tangents à la partie lisse de $ D$. Le problème de la comparaison logarithmique consiste à déterminer quels sont les diviseurs pour lesquels l'inclusion de $ \Omega ^{\bullet} ($log$ D)$ dans les formes méromorphes est un quasi-isomorphisme, ce qui équivaut à dire, grâce au théorème de comparaison de Grothendieck que pour tout ouvert $ U$, le complexe $ \Omega ^{\bullet} ($log $ D)$ permet de calculer la cohomologie à coefficients dans $ \mathbb{C}$ de $ U\setminus D$. Lorsque le diviseur est libre (c'est à dire lorsque les $ \mathcal{O}$-modules $ \Omega ^1($log $ D)$ ou Der(-log ($ D$) le sont), Castro, D. Mond et L. Narvaez ont donné une condition suffisa nte, le fait que le diviseur soit localement quasi-homogène.

Dans un travail en commun avec Mathias Schulze (U. de Purdue) nous montrons une réciproque partielle, pour les surfaces dans $ \mathbb{C}^3$, le cas des courbes étant déjà traité. Nous montrons que toute surface ayant la propriété de comparaison logarithmique est fortement Euler-homogène ce qui signifie qu'en tout point $ x$ de $ D$, où une équation locale est $ f$, il existe un champ de vecteur (logarithmique) $ \xi$ nul en $ x$ tel que $ \xi(f)=f$. Un des éléments clé de la démonstration est un théorème de structure formelle pour Der(-log($ D$)) qui généralise un théorème de décomposition formelle de type (semi-simple+nilpotent) pour un seul champ de vecteurs.

Nous évoquerons s'il reste du temps le cas des diviseurs linéairement libres. Ce sont des diviseurs homogènes pour lesquels le $ \mathcal{O}$-module libre Der(-log ($ D$), qui est toujours de rang $ n$ est engendré par des champs linéaires qui constituent une sous-algèbre de Lie de dimension $ n$ de $ \mathfrak{gl}(\mathbb{C}^{\star})$. En utilisant un analogue du théorème de structure formelle nous donnons en particulier une classification de ces diviseurs jusqu'en dimension $ 4$.

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