Titre : Théorie du potentiel en Géométrie analytique non archimédienne et théorie d'Arakelov en dimension 1

Résumé :

Le théorème de Fekete-Szegö, concernant l'existence d'entiers algébriques dont les plongements complexes satisfont à certaines conditions géométriques, a été considérablement généralisé par R. Rumely il y a une vingtaine d'années (Capacity theory on algebraic curves, Springer LNM 1378). Dans ce travail, Rumely considère une courbe algébrique X propre et lisse sur Q et, pour tout nombre premier p, transfert à l'espace topologique X(Cp) des  notions provenant de la très classique théorie du potentiel sur la surface de Riemann X(C) : fonctions de Green, mesures d'équilibre et capacités. Le défaut de connexité et de compacité locales de X(Cp) est source de difficultés.
    Peu après, E. Kani a utilisé la géométrie analytique rigide (Tate) pour relier certains des objets définis par Rumely à la théorie de l'intersection sur des modèles entiers de X.
   Adoptant le point de vue introduit par V.G. Berkovich, il s'avère que toute courbe analytique lisse sur un corps non archimédien k est naturellement le support d'une théorie du potentiel en tout point analogue à celle usuellement développée sur une surface de Riemann ; la clef de voûte en est un opérateur dd^c possédant les mêmes propriétés que le laplacien complexe.
   La théorie d'Arakelov, en dimension 1, peut être envisagée comme l'étude de l'arithmétique des courbes algébriques sur Q à l'aide des théories du potentiel associées aux différentes valeurs absolues (non triviales) sur Q, ce qu'illustre le théorème de Fekete-Szegö-Rumely.

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