Titre : Systèmes de Bost-Connes-Marcolli pour les variétés de Shimura

Résumé :

Bost et Connes ont mis à jour en 95 une jolie relation entre deux sujets apparemment sans lien: la théorie du corps de classe pour Q (théorie de dimension 1) et la mécanique statistique quantique (MSQ). Plus précisément, ils ont construit un système de MSQ avec brisure spontanée de symétrie, dont la fonction de répartition est la fonction zêta de Riemann et les symétries à basse température sont données par un groupe de classes d'idèles. Plus récemment, Connes et Marcolli (2004) ont construit un analogue de ce système en dimension 2 ayant une relation analogue avec la loi de réciprocité modulaire de Shimura. On propose une définition générale des systèmes analogues pour une donnée de Shimura (G,X) et on étudie ses propriétés de base.
On applique cette définition au cas des corps de nombres, ce qui donne une définition d'un système de Bost-Connes pour les corps de nombres ayant les bonnes symétries et la bonne fonction de répartition. Ce résultat n'était connu que pour les corps quadratiques (Connes-Marcolli-Ramachandran, janvier 2005) ou partiellement (Cohen, Laca, Harari, Leichtnam...) et pour des corps de nombres de classe 1 (symétries et/ou fonction de répartition pas exactement égaux à ceux souhaités).
L'exposé contiendra une explication simple des notions contenues dans cette introduction ainsi que des résultats obtenus.

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