Titre : Courbes elliptiques et indécidabilité des corps de fonctions

Résumé :

Si A est un anneau, le « 10e problème de Hilbert pour A » est celui de l'existence d'un algorithme décidant de l'existence d'un zéro pour un polynôme donné arbitrairement dans A[X₁,...,X_n]. Pour A = Z, un tel algorithme n'existe pas (Matijasevich, 1970). Pour A = Q, la question est ouverte.

On s'intéresse ici à l'indécidabilité (au sens ci-dessus) d'un corps de fonctions K d' une variable (ou plus) sur un corps k de caractéristique nulle. Lorsque K = k(t), elle a été prouvée par Denef (1978) si k est réel et par Kim et Roush (1995) si k est un sous-corps d'un corps p-adique (p  \neq 2).

On montre ici que la méthode de Denef peut s'étendre aux corps de fonctions non transcendants purs (mais toujours transcendants) :
- lorsque K est réel;
- lorsque k est un sous-corps d'un corps p-adique (p \neq 2).

Par rapport à l'argument originel, l'ingrédient nouveau est un théorème de R. Noot sur la variation du rang de Hom(A_x, B_x) où A et B sont deux schémas abéliens sur un ouvert U de P¹ et où x parcourt les points rationnels de U.

Référence : Preprint IRMAR 04-42, disponible en ligne sur la page Oueb de l'auteur.
  

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