Une conjecture de Drinfeld et Carayol affirme que la cohomologie ℓ-adique à support compact des revêtements Σ_{n}^{d} de Drinfeld (ce sont des revêtements du demi-plan non-archimédien généralisé Ω^{d} sur un corps local K) constituent une réalisation géométrique des correspondances locales de Langlands et de Jacquet-Langlands, du moins pour les supercuspidales. Nous démontrons cette conjecture, dans le cas des corps de fonctions : la preuve, de nature globale, passe par l’étude de la mauvaise réduction des variétés de Laumon-Rapoport-Stuhler (une variante compacte des variétés de modules des faisceaux elliptiques de Drinfeld) et utilise notamment un théorème d’uniformisation rigideanalytique que nous établissons. En effet, les revêtements de Drinfeld constituent, en certaines places, des modèles locaux pour nos variétés globales.