Vers une théorie p-adique des dessins d’enfants?

Yves André (E.N.S. Paris)

July 30, 2003

Résumé: D’après Belyi, Gal(ℚ̄/ℚ) agit fidèlement par automorphismes extérieurs sur le π_{1} profini de ℙ1 ; ℚ̄\ {0, 1, ∞}. La théorie des dessins d’enfants est un projet, initié par Grothendieck, de description géométrico-combinatoire de cette action.

Dans son “Esquisse d’un programme”, Grothendieck pose le problème d’une description géométrico-combinatoire pour les sous-groupes de Galois locaux Gal(ℚ̄_{p}/ℚ_{p}) (un plongement ℚ̄ ↪ ℚ̄_{p} étant fixé), avec pour horizon le passage de la caractéristique 0 à la caractéristique p.

Nous esquisserons une telle description, et plus généralement un avatar p-adique de la théorie de Grothendieck-Teichmüller (théorie qui se propose d’étudier Gal(ℚ̄/ℚ) via son action sur des groupes de tresses ou des “mapping class groups”).

(Référence: On a geometric description of Gal(ℚ̄_{p}/ℚ_{p}), and a p-adic avatar of ĜT, à paraître dans Duke Math. J. )