Polynômes de Bernstein pour une fonction sur un espace singulier

T. Torelli (Nancy)

30 juillet 2003

Etant donné un germe de fonction analytique f ∈ O = C{x_{1}, …, x_{n}} et un élément m ∈ M d’un D-module holonome (D désignant l’anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans O), M. Kashiwara a établi l’existence d’équations fonctionnelles :

b(s)mf^{s} = P.mf^{s+1}

où b(s) ∈ C[s] est un polynôme non nul et P ∈ D[s] = D ⊗ C[s]. On appelle polynôme de Bernstein de f associé à m le générateur unitaire de l’idéal des polynômes b(s) qui satisfont à cette identité.

Afin d’étendre à un cadre singulier des résultats de la théorie du polynôme de Bernstein-Sato, on étudie les polynômes de Bernstein d’une fonction analytique f associée aux sections du module de cohomologie locale algébrique R à support une intersection complète locale X définie par un morphisme analytique g. En effet, il résulte de la construction algébrique des cycles évanescents que les racines de ces polynômes sont étroitement liées aux valeurs propres de la monodromie locale de f sur X.

En adaptant des idées de B. Malgrange, nous donnerons une construction adaptée à l’étude de ces polynômes lorsque les morphismes g et (f, g) définissent des intersections complètes à singularité isolée. Toutefois cette construction impose de fortes contraintes sur la section δ ∈ R, et notamment la quasihomogénéité du morphisme g. Nous montrerons enfin comment s’affranchir de ces contraintes dans le cas particulier où f est lisse et X est une hypersurface.