COHOMOLOGIE DE L’ALGÈBRE TRIANGULAIRE ET APPLICATIONS

travail en collaboration avec B.Bendiffalah

Soient K un anneau commutatif, deux K-algèbres associatives et unitaires A et B, ainsi qu’un A⊗B^{o}-module M, où A, B et M sont des K-modules projectifs. L’algèbre “trian-

gulaire” associée à ces données est le K-module T = ( \begin{matrix}A & M \\ 0 & B \end{matrix} ) muni de la loi multiplicative

( \begin{matrix}a_{1} & m_{1} \\ 0 & b_{1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a_{2} & m_{2} \\ 0 & b_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a_{1}a_{2} & a_{1}m_{2} + m_{1}b_{2} \\ 0 & b_{1}b_{2} \end{matrix} ) . On note H^{∗}(T, Λ) la cohomologie de

Hochschild de T à coefficients dans un T -bimodule Λ. En exprimant H^{∗}(T, Λ) comme cohomologie du complexe cône d’un morphisme dont la construction est simple, nous obtenons, non seulement de manière immédiate les suites exactes connues sur le sujet, mais de plus, sous l’hypothèse que M est projectif sur A (ou sur B^{o}), des suites exactes plus précises permettant de mieux comprendre HH^{∗}(T) = H^{∗}(T, T), en particulier lorsque B^{o} = End_{A}(M).

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