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Résumé:
Dans cet exposé, j'évoquerai les équations de Landau-Lifshitz, qui régissent l'évolution du moment magnétique dans un matériau ferromagnétique.
Un résultat de 1991 d'Alouges et Soyeur montre l'existence, globale en temps, et la non-unicité de solutions faibles.
Dans un travail en collaboration avec Eric Dumas (Institut Fourier) nous avons montré que s'il existe une solution forte,
toute solution faible avec la même donnée initiale coïncide avec cette solution forte.
Nous excluons aussi la possibilité d'une dissipation anormale des solutions faibles sous des hypothèses de régularité qui peuvent être mises en parallèle,
du point de vue de l'analyse dimensionnelle, avec
les conditions de régularité de la conjecture d'Onsager en hydrodynamique.
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Résumé:
On presentera quelques modèles motivés par la description de mélanges.
Ces modèles se caractérisent par des contraintes non usuelles liant la divergence du champ de vitesse et des dérivées de la densité.
Certaines de ces modèles peuvent être obtenus via des régimes hydrodynamiques à partir de descriptions de nature plus microscopiques.
On discutera certaines difficultés mathématiques posées par ces systemes d EDP.
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Résumé:
Le résultat principal de cet exposé est un théorème d'existence globale pour l'équation des ondes de surface 2D avec des données petites, suffisamment localisées.
Nous obtenons de plus le comportement asymptotique en temps de la solution.
Les estimations Sobolev sont obtenues au moyen d'une méthode de formes normales paradifférentielle. Les estimations uniformes sont démontrées en interprétant
l'équation de façon semi-classique; on décrit les solutions à l'aide de distributions lagrangiennes. Travail en collaboration avec Jean-Marc Delort.
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Résumé:
Nous considérons l'équation de Klein Gordon non linéaire sur une variété de Riemann compacte M
$$\partial^{2}_t u-\Delta u - m^{2}u+u^{2p+1} =0, \quad (t,x)\in\R\times M.$$
Le signe moins devant la masse produit une direction instable au voisinage du point d'équilibre $u=0$ ce qui conduit à l'existence d'une onde solitaire (une orbite homocline à zéro). Nous nous intéressons aux solutions proches de cette homocline.
Travail en collaboration avec T. Jezquel et L. Thomann.
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Abstract:
The aim of this talk is to show how a weakly dispersive perturbation of the inviscid Burgers equation improve (enlarge) the
space of resolution of the local Cauchy problem. More generally we will review several problems arising from weak dispersive
perturbations of nonlinear hyperbolic equations or systems (Joint works with Felipe Linares and Jean-Claude Saut).
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Résumé:
Dans cet exposé, il sera question de guides d'ondes en présence de champs magnétiques. Je présenterai en particulier quelques propriétés spectrales,
pour l'équation de Schrödinger, induites par la présence d'un champ magnétique dans un guide d'onde. Par des régimes asymptotiques ou par des inégalités
de Hardy, je comparerai les différents effets d'une déformation d'un guide d'onde
(courbure, torsion, champ magnétique) et répondrai (partiellement) à la question : "Un champ magnétique a-t-il le même effet spectral qu'une torsion ?".
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Résumé:
Le point de départ de ce travail est l'étude d'une marche aléatoire naturelle sur l'espace euclidien
muni d'une densité de probabilité. On s'intéresse à la vitesse de convergence de cette marche vers sa distribution stationnaire.
La réponse est donnée par le trou spectral d'un opérateur Markovien que l'on décrit précisément.
Pour y parvenir, on est amené à démontrer un résultat de super-symétrie sur des opérateurs pseudodifférentiels généraux.
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Résumé:
La recherche de nouvelles solutions en théorie des vagues s'est considérablement
développée grâce à l'utilisation de méthodes locales de réduction (variété centrale
et formes normales), particulièrement adaptées aux systèmes réversibles
de dimension infinie. On montrera notamment comment de nouveaux types
d'ondes solitaires ont été découverts. On montrera également les limites de
ces méthodes, notamment lorsque l'épaisseur de la couche fluide est grande,
ou que, pour la recherche des vagues tri-dimensionnelles, la tension de surface
est très petite.
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Résumé:
On étend une méthode de randomisation introduite par Burq-Lebeau sur des
variétés compactes, au cas de l'oscillateur harmonique. On construit des
mesures dont les éléments du support vérifient des inégalités optimales de
Sobolev à poids. Puis on applique ceci à l'existence et l'unicité de
solutions pour l'équation de Schrödinger avec données initiales
aléatoires. Ceci est un travail en commun avec Aurélien Poiret et Didier
Robert.
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Résumé:
Nous étudions le flot de l'équation non-linéaire de Hartree autour d'un gaz de Fermi invariant par translation.
Nous montrons le caractère bien-posé de cette dynamique, globalement en temps dans l'espace d'énergie associé.
Nous montrons également le retour à l'équilibre en temps long d'un tel gaz de Fermi soumis à une faible perturbation au temps initial,
autrement dit sa stabilité asymptotique. La principale difficulté réside dans le fait que de tels systèmes comportent un nombre infini
de particules, une énergie infinie, et donc des propriétés dispersives non-triviales. On utilise donc des outils adaptés à ce cadre,
comme les inégalités de Lieb-Thirring à densité positive ou les inégalités de Strichartz,
démontrées toutes deux récemment par Frank, Lewin, Lieb et Seiringer. Ceci est une collaboration avec Mathieu Lewin.
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