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R�sume:
Nous consid�rons des marches quantiques al�atoires d�crivant la dynamique quantique en temps discret d'une particule de spin un sautant sur les site d'un arbre homog�ne de degr� trois. La marche quantique d�terministe est caract�ris�e par une �volution unitaire U(C) consistant en une action sur le seul spin de la particule au moyen d'une matrice C unitaire 3x3, suivie d'un shift d�pendant du spin faisant sauter la particule sur ses plus proches voisins. En d�corant la matrice C par des phases al�atoires d�pendant du site, on obtient une marche quantique al�atoire caract�ris�e par un op�rateur unitaire al�atoire U?(C). Nous explorons les propri�t�s de U?(C) en fonction de C et exhibons une transition spectrale le long de certaines familles de matrices C que nous d�crivons. Il s'agit d'un travail avec Eman Hamza.
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R�sum�:
We consider the discrete Schr{\"o}dinger operator $- \Delta_d + V$ defined
on the square lattice ${\bf Z}^d$ with $d\geq 2$. Assuming that the
potential $V$ is compactly supported, we show that $V$ is uniquely
reconstructed from the scattering matrix of a fixed energy. Following the
idea for the continuous case, we reduce the problem to one for the D-N map
on a bounded domain, where the discrete Rellich type theorem plays a
crucial role. This is a joint work with H. Morioka.
R�sum�:
Je d�crirai des propri�t�s asymptotiques des ``modes propres'' de l'�quation des ondes amorties sur une vari�t� riemannienne,
compacte et sans bord. J'expliquerai que ces fonctions ne peuvent pas �tre trop concentr�es autour de ``petits'' sous-ensembles hyperboliques.
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R�sum�:
Nous consid�rons un syst�me quantique de $N$ bosons interagissant
avec un potentiel d'intensit� proportionnelle � $1/N$. Sous certaines
hypoth�ses assez g�n�rales, nous donnons un d�veloppement � deux termes des
valeurs propres du Hamiltonien � $N$ corps, dans la limite o� $N$ tend vers
l'infini. Le premier terme est donn� par le mod�le de Hartree alors que le
suivant est donn� par la th�orie de Bogoliubov. Travail en collaboration avec
Phan Th�nh Nam (Cergy), Sylvia Serfaty (Paris 6) et Jan Philip Solovej
(Copenhague).
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R�sum�:
L'approche conforme du scattering remonte aux ann�es 60 � 80 avec essentiellement les travaux de Penrose, Lax-Phillips et Friedlander.
C'est Friedlander qui recoupe les id�es de Lax-Phillips et de Penrose et pr�sente la premi�re th�orie conforme de scattering en 1980.
Ses id�es ont �t� reprises dans les ann�es 1990 par Baez-Segal-Zhou. Leurs constructions, comme celle de Friedlander, sont dans le cadre d'espaces-temps statiques.
L'id�e de remplacer l'analyse spectrale par la g�om�trie conforme est pourtant la porte ouverte au d�veloppement de th�ories de scattering dans des cadres non
stationnaires g�n�raux, totalement inaccessibles aux m�thodes spectrales.
Un premier travail en collaboration avec Lionel Mason exposait ces id�es et les mettait en oeuvre sur des espaces-temps non stationnaires sans singularit�,
travail �tendu par J�r�mie Joudioux � des �quations non lin�aires.
L'objectif est de construire des th�ories de scattering dans des espaces-temps de type trou noirs. Cet expos� pr�sente l'historique des id�es,
le principe des constructions et les ingr�dients permettant d'�tendre les r�sultats � des g�om�tries de type trou noir.
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Abstract:
We study rapid resolvent growth for operators like the complex harmonic oscillator and quadratic Kramers-Fokker-Planck. We also discuss the underlying algebraic structure of these operators, in particular as revealed through their spectral projections, and some related analytic consequences.
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Abstract:
Bogoliubov transformations (bosonic and fermionic) play an
important role in many body quantum physics and quantum field theory.
I believe it is useful to discuss them from the abstract point of
view. I will review their basic algebraic properties, including the
implementability in a Fock space and the choice of the phase factor.
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R�sum�:
Nous �tudions, dans le cas vectoriel et dans le cas scalaire des �quations de r�actions-diffusion uni-dimensionnelles, de type gradient,
pour des potentiels poss�dant plusieurs puits de m�me
niveau, dans le cas o� la d�riv�e seconde du potentiel s'annule pour chacun des puits. Dans le cas scalaire, nous d�crivons l'�quation limite des fronts.
Abstract:
In the quantum field theory it can be seen that a strong coupling produces an effective mass or an effective potential, which binds a quantum system.
In my talk, we consider a system of a Schroedinger operator coupled to a massless quantum field, and show in mathematically rigorous way that strong couplings produces a ground state of this system.
This can be proven by checking a stability condition and a uniform spacial exponential decay.
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R�sum�:
Nous �tudions l'interconnexion entre les propri�t�s de contr�labilit� d'un syst�me dynamique et le
comportement asymptotique de trajectoires pour le syst�me stochastique associ�. Pour illustrer les
id�es principales, on �tablit d'abord un r�sultat dans le cas de dimension finie qui s'applique, en
particulier, aux �quations diff�rentielles sur une vari�t� riemannienne compacte. On �tudie ensuite
le syst�me de Navier-Stokes bidimensionnel dans un domaine born� soumis � une perturbation
al�atoire par le bord. Le r�sultat principal concerne l'unicit� et le m�lange exponentiel d'une mesure
stationnaire, et sa d�monstration est bas�e sur une �tude d�taill�e de certaines propri�t�s de
contr�labilit� du syst�me de Navier-Stokes.
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R�sum�:
TBA
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R�sum�:
Le modele de Jaynes-Cummings-Gaudin, qui est tres important en physique, est aussi remarquable
pour ses proprietes mathematiques.
C'est un terrain de jeu ideal ou se rencontrent et se completent les outils developpes par les deux communautes.
Je montrerai comment la matrice de Lax, la courbe spectrale, les solitons, l' Ansatz de Bethe apportent un eclairage
original sur la geometrie symplectique du modele, l'image de l'application moment, ses singularites foyer-foyer,
la monodromie, les calculs semi classiques.
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R�sum�:
Cette th�se est consacr�e � des questions d'analyse en amont de la mod�lisation de structures arborescentes, comme le poumon humain.
Plus particuli�rement, nous portons notre int�r�t sur une classe de domaines ramifi�s du plan, dont la fronti�re comporte une partie fractale auto-similaire.
Nous commen�ons par une �tude d'espaces de fonctions dans cette classe de domaines. Nous �tudions d'abord la r�gularit� Sobolev de la trace
sur la partie fractale de la fronti�re de fonctions appartenant � des espaces de Sobolev dans les domaines consid�r�s.
Nous �tudions ensuite l'existence d'op�rateurs de prolongement sur la classe de domaines ramifi�s.
Nous comparons finalement la notion de trace auto-similaire sur la partie fractale du bord � des d�finitions plus classiques de trace.
Nous nous int�ressons enfin � un probl�me de transmission mixte entre le domaine ramifi� et le domaine ext�rieur.
L'interface du probl�me est la partie fractale du bord du domaine. Nous proposons ici une approche num�rique,
en approchant l'interface fractale par une interface pr�fractale. La strat�gie propos�e ici est bas�e sur
le couplage d'une m�thode auto-similaire pour la r�solution du probl�me int�rieur et d'une m�thode int�grale pour la r�solution du probl�me ext�rieur.
R�sum�:
On �tend des r�sultats d'approximation semi-classique d'op�rateurs d'onde pour des mol�cules diatomiques. Le point nouveau r�side dans le fait qu'on traite des canaux correspondant
� une diffusion in�lastique. Apr�s avoir pr�sent� le r�sultat, on verra comment les principales difficult�s
(singularit�s coulombiennes, croisements de niveaux �lectroniques, r�sonances) sont contr�l�es.
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R�sum�:
En 1976, Barry Simon montrait que pour toute fonction scalaire, V, localis�e et d'int�grale n�gative,
l'op�rateur -d?2/dx?2 + V(x) poss�de au moins une valeur propre discr�te ; et il caract�risait le comportement asymptotique de cette
valeur propre pour V_\lambda = \lambda V(x), lambda \to 0.
On cherche � �tendre ces r�sultats au cadre de mat�riaux caract�ris�s par une microstructure
(tels que les cristaux photoniques), ce qui nous am�ne � consid�rer le cas de
1) un potentiel V localis�, de moyenne nulle, et fortement oscillant;
2) une perturbation localis�e et de faible amplitude d'un potentiel p�riodique.
Ce travail est en collaboration avec Iva Vuki?evi? et Michael I. Weinstein, de Columbia University
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R�sum�:
We consider a lattice Hamiltonian with off-diagonal disorder in dimension 1. For this model, it is well known that the weak limit of a local level statistic near a positive energy in the localized regime is a Poisson point process. In this talk, we would like to show more that if we consider local level statistics near $n$ positive, distinct energies in the localized regime for any $n \geq 2$, they converge weakly to $n$ independent Poisson point processes.
The key point in proving that kind of result is decorrelation estimates for the eigenvalues near two distinct energies in the localized regime.
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R�sum�:
We consider the formation of large scale structures (zonal jets and vortices), in geostrophic turbulence forced by random forces,
within the barotropic quasi-geostrophic model. We study the limit of a time scale separation between inertial dynamics on one hand,
and the effect of forces and dissipation on the other hand. We prove that stochastic averaging can be performed explicitly in this problem,
which is unusual in turbulent systems. It is then possible to integrate out all fast turbulent degrees of freedom, and to get explicitly an
equation that describes the slow evolution of zonal jets.
The equation for this slow evolution, is a one dimensional stochastic differential equation with multiplicative noise.
The average is described by a non-linear Fokker-Planck equation. It describes the attractors for the dynamics (alternating zonal jets,
whose number depend on the force spectrum), and the relaxation towards those attractors. We describe regimes where the system has multiple
attractors for the same physical parameters.
J. Laurie, C. Nardini, T. Tangarife, O. Zaboronski have given contributions to one or several of the results discussed during this talk.
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R�sum�:
Cet expos� est consacr� � des r�sultats obtenus en collaboration avec R�mi
Carles sur le comportement en temps grand des solutions d'un syst�me
d'�quations qui constitue une extension non-lin�aire du syst�me de
Landau-Zener. Dans sa version lin�aire, ce syst�me joue le r�le de forme
normale pour les questions de croisement de modes et l'on en trouve des
versions non-lin�aires dans la litt�rature physique. Par exemple, il peut
�tre interpr�t� comme une �quation d'enveloppe das le cadre de la
condensation de Bose-Einstein. Nous d�crirons des r�sultats d'existence
d'�tats asymptotiques, d'op�rateurs d'onde et comparerons l'op�rateur de
scattering non lin�aire avec son homologue lin�aire.
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R�sum�:
On s'int�resse aux taux de d�croissance de l'�nergie pour l'�quation des ondes amorties dans des situations o� le coefficient d'amortissement ne satisfait pas la condition de contr�le g�om�trique de Bardos-Lebeau-Rauch-Taylor. Dans un premier temps, on donne un lien entre la d�croissance polynomiale de l'�nergie et la contr�labilit� de l'�quation de Schr�dinger associ�e.
Dans un second temps, on se focalise sur le tore 2-D. Toujours en supposant que le contr�le g�om�trique n'est pas r�alis�, on montre deux
bornes a priori sur le taux de d�croissance (polynomial). On montre que si l'amortissement est r�gulier, la meilleure borne a priori peut �tre
r�alis�e. Au contraire, si l'amortissement est la fonction caract�ristique d'une bande, on montre que cette meilleure borne a priori n'est pas atteinte.
En plus des propri�t�s dynamiques du flot g�od�sique, on met ainsi en �vidence l'importance d'un autre facteur dans l'�tude des taux de d�croissance de l'�nergie pour l'�quation des ondes amorties : la r�gularit� de l'amortissement (ou, plus pr�cis�ment, son taux d'annulation).
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nalini Anantharaman (Orsay).
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R�sum�:
le th�or�me ergodique semi-classique, du essentiellement
� Schnirelman (1974), affirme que les fonctions propres du laplacien
d'une vari�t� riemannienne lisse (X,g) dont le flot g�od�sique est
ergodique
se r�partissent uniform�ment sur X.
Dans un preprint r�cent (arXiv:1301.6783),
Dmitry Jakobson, Yuri Safarov et Alexander Strohmaier �tendent le
th�or�me
de Shnirelman au cas de m�triques riemanniennes discontinues le
long d'une hypersurface Z de X
On peut alors voir le flot g�od�sique comme un processus de
Markov : lorsqu'une g�od�sique rencontre Z, elle peut se r�fl�chir ou
se r�fracter. L'ergodicit� du flot g�od�sique est alors d�finie comme
celle de ce processus.
Je pr�senterai ce r�sultat, son extension
aux complexes simpliciaux (en particulier les graphes),
et un exemple simple d'une
m�trique discontinue sur la sph�re dont le flot g�od�sique est ergodique.
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Plan:
1. Processus et semi-groupes markoviens quantiques
2. G�n�rateurs de Kossakowski-Lindblad-Davies
3. Exemple d'�volution quasi-libre sur l'alg�bre de RCC
4. Exemple de W*-syst�me pour une perturbation r�p�t�e
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