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Résume:
Nous considérons des marches quantiques aléatoires décrivant la dynamique quantique en temps discret d'une particule de spin un sautant sur les site d'un arbre homogène de degré trois. La marche quantique déterministe est caractérisée par une évolution unitaire U(C) consistant en une action sur le seul spin de la particule au moyen d'une matrice C unitaire 3x3, suivie d'un shift dépendant du spin faisant sauter la particule sur ses plus proches voisins. En décorant la matrice C par des phases aléatoires dépendant du site, on obtient une marche quantique aléatoire caractérisée par un opérateur unitaire aléatoire U?(C). Nous explorons les propriétés de U?(C) en fonction de C et exhibons une transition spectrale le long de certaines familles de matrices C que nous décrivons. Il s'agit d'un travail avec Eman Hamza.
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Résumé:
We consider the discrete Schr{\"o}dinger operator $- \Delta_d + V$ defined
on the square lattice ${\bf Z}^d$ with $d\geq 2$. Assuming that the
potential $V$ is compactly supported, we show that $V$ is uniquely
reconstructed from the scattering matrix of a fixed energy. Following the
idea for the continuous case, we reduce the problem to one for the D-N map
on a bounded domain, where the discrete Rellich type theorem plays a
crucial role. This is a joint work with H. Morioka.
Résumé:
Je décrirai des propriétés asymptotiques des ``modes propres'' de l'équation des ondes amorties sur une variété riemannienne,
compacte et sans bord. J'expliquerai que ces fonctions ne peuvent pas être trop concentrées autour de ``petits'' sous-ensembles hyperboliques.
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Résumé:
Nous considérons un système quantique de $N$ bosons interagissant
avec un potentiel d'intensité proportionnelle à $1/N$. Sous certaines
hypothèses assez générales, nous donnons un développement à deux termes des
valeurs propres du Hamiltonien à $N$ corps, dans la limite où $N$ tend vers
l'infini. Le premier terme est donné par le modèle de Hartree alors que le
suivant est donné par la théorie de Bogoliubov. Travail en collaboration avec
Phan Thành Nam (Cergy), Sylvia Serfaty (Paris 6) et Jan Philip Solovej
(Copenhague).
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Résumé:
L'approche conforme du scattering remonte aux années 60 à 80 avec essentiellement les travaux de Penrose, Lax-Phillips et Friedlander.
C'est Friedlander qui recoupe les idées de Lax-Phillips et de Penrose et présente la première théorie conforme de scattering en 1980.
Ses idées ont été reprises dans les années 1990 par Baez-Segal-Zhou. Leurs constructions, comme celle de Friedlander, sont dans le cadre d'espaces-temps statiques.
L'idée de remplacer l'analyse spectrale par la géométrie conforme est pourtant la porte ouverte au développement de théories de scattering dans des cadres non
stationnaires généraux, totalement inaccessibles aux méthodes spectrales.
Un premier travail en collaboration avec Lionel Mason exposait ces idées et les mettait en oeuvre sur des espaces-temps non stationnaires sans singularité,
travail étendu par Jérémie Joudioux à des équations non linéaires.
L'objectif est de construire des théories de scattering dans des espaces-temps de type trou noirs. Cet exposé présente l'historique des idées,
le principe des constructions et les ingrédients permettant d'étendre les résultats à des géométries de type trou noir.
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Abstract:
We study rapid resolvent growth for operators like the complex harmonic oscillator and quadratic Kramers-Fokker-Planck. We also discuss the underlying algebraic structure of these operators, in particular as revealed through their spectral projections, and some related analytic consequences.
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Abstract:
Bogoliubov transformations (bosonic and fermionic) play an
important role in many body quantum physics and quantum field theory.
I believe it is useful to discuss them from the abstract point of
view. I will review their basic algebraic properties, including the
implementability in a Fock space and the choice of the phase factor.
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Résumé:
Nous étudions, dans le cas vectoriel et dans le cas scalaire des équations de réactions-diffusion uni-dimensionnelles, de type gradient,
pour des potentiels possédant plusieurs puits de même
niveau, dans le cas où la dérivée seconde du potentiel s'annule pour chacun des puits. Dans le cas scalaire, nous décrivons l'équation limite des fronts.
Abstract:
In the quantum field theory it can be seen that a strong coupling produces an effective mass or an effective potential, which binds a quantum system.
In my talk, we consider a system of a Schroedinger operator coupled to a massless quantum field, and show in mathematically rigorous way that strong couplings produces a ground state of this system.
This can be proven by checking a stability condition and a uniform spacial exponential decay.
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Résumé:
Nous étudions l'interconnexion entre les propriétés de contrôlabilité d'un système dynamique et le
comportement asymptotique de trajectoires pour le système stochastique associé. Pour illustrer les
idées principales, on établit d'abord un résultat dans le cas de dimension finie qui s'applique, en
particulier, aux équations différentielles sur une variété riemannienne compacte. On étudie ensuite
le système de Navier-Stokes bidimensionnel dans un domaine borné soumis à une perturbation
aléatoire par le bord. Le résultat principal concerne l'unicité et le mélange exponentiel d'une mesure
stationnaire, et sa démonstration est basée sur une étude détaillée de certaines propriétés de
contrôlabilité du système de Navier-Stokes.
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Résumé:
TBA
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Résumé:
Le modele de Jaynes-Cummings-Gaudin, qui est tres important en physique, est aussi remarquable
pour ses proprietes mathematiques.
C'est un terrain de jeu ideal ou se rencontrent et se completent les outils developpes par les deux communautes.
Je montrerai comment la matrice de Lax, la courbe spectrale, les solitons, l' Ansatz de Bethe apportent un eclairage
original sur la geometrie symplectique du modele, l'image de l'application moment, ses singularites foyer-foyer,
la monodromie, les calculs semi classiques.
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Résumé:
Cette thèse est consacrée à des questions d'analyse en amont de la modélisation de structures arborescentes, comme le poumon humain.
Plus particulièrement, nous portons notre intérêt sur une classe de domaines ramifiés du plan, dont la frontière comporte une partie fractale auto-similaire.
Nous commençons par une étude d'espaces de fonctions dans cette classe de domaines. Nous étudions d'abord la régularité Sobolev de la trace
sur la partie fractale de la frontière de fonctions appartenant à des espaces de Sobolev dans les domaines considérés.
Nous étudions ensuite l'existence d'opérateurs de prolongement sur la classe de domaines ramifiés.
Nous comparons finalement la notion de trace auto-similaire sur la partie fractale du bord à des définitions plus classiques de trace.
Nous nous intéressons enfin à un problème de transmission mixte entre le domaine ramifié et le domaine extérieur.
L'interface du problème est la partie fractale du bord du domaine. Nous proposons ici une approche numérique,
en approchant l'interface fractale par une interface préfractale. La stratégie proposée ici est basée sur
le couplage d'une méthode auto-similaire pour la résolution du problème intérieur et d'une méthode intégrale pour la résolution du problème extérieur.
Résumé:
On étend des résultats d'approximation semi-classique d'opérateurs d'onde pour des molécules diatomiques. Le point nouveau réside dans le fait qu'on traite des canaux correspondant
à une diffusion inélastique. Après avoir présenté le résultat, on verra comment les principales difficultés
(singularités coulombiennes, croisements de niveaux électroniques, résonances) sont contrôlées.
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Résumé:
En 1976, Barry Simon montrait que pour toute fonction scalaire, V, localisée et d'intégrale négative,
l'opérateur -d?2/dx?2 + V(x) possède au moins une valeur propre discrète ; et il caractérisait le comportement asymptotique de cette
valeur propre pour V_\lambda = \lambda V(x), lambda \to 0.
On cherche à étendre ces résultats au cadre de matériaux caractérisés par une microstructure
(tels que les cristaux photoniques), ce qui nous amène à considérer le cas de
1) un potentiel V localisé, de moyenne nulle, et fortement oscillant;
2) une perturbation localisée et de faible amplitude d'un potentiel périodique.
Ce travail est en collaboration avec Iva Vuki?evi? et Michael I. Weinstein, de Columbia University
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Résumé:
We consider a lattice Hamiltonian with off-diagonal disorder in dimension 1. For this model, it is well known that the weak limit of a local level statistic near a positive energy in the localized regime is a Poisson point process. In this talk, we would like to show more that if we consider local level statistics near $n$ positive, distinct energies in the localized regime for any $n \geq 2$, they converge weakly to $n$ independent Poisson point processes.
The key point in proving that kind of result is decorrelation estimates for the eigenvalues near two distinct energies in the localized regime.
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Résumé:
We consider the formation of large scale structures (zonal jets and vortices), in geostrophic turbulence forced by random forces,
within the barotropic quasi-geostrophic model. We study the limit of a time scale separation between inertial dynamics on one hand,
and the effect of forces and dissipation on the other hand. We prove that stochastic averaging can be performed explicitly in this problem,
which is unusual in turbulent systems. It is then possible to integrate out all fast turbulent degrees of freedom, and to get explicitly an
equation that describes the slow evolution of zonal jets.
The equation for this slow evolution, is a one dimensional stochastic differential equation with multiplicative noise.
The average is described by a non-linear Fokker-Planck equation. It describes the attractors for the dynamics (alternating zonal jets,
whose number depend on the force spectrum), and the relaxation towards those attractors. We describe regimes where the system has multiple
attractors for the same physical parameters.
J. Laurie, C. Nardini, T. Tangarife, O. Zaboronski have given contributions to one or several of the results discussed during this talk.
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Résumé:
Cet exposé est consacré à des résultats obtenus en collaboration avec Rémi
Carles sur le comportement en temps grand des solutions d'un système
d'équations qui constitue une extension non-linéaire du système de
Landau-Zener. Dans sa version linéaire, ce système joue le rôle de forme
normale pour les questions de croisement de modes et l'on en trouve des
versions non-linéaires dans la littérature physique. Par exemple, il peut
être interprété comme une équation d'enveloppe das le cadre de la
condensation de Bose-Einstein. Nous décrirons des résultats d'existence
d'êtats asymptotiques, d'opérateurs d'onde et comparerons l'opérateur de
scattering non linéaire avec son homologue linéaire.
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Résumé:
On s'intéresse aux taux de décroissance de l'énergie pour l'équation des ondes amorties dans des situations où le coefficient d'amortissement ne satisfait pas la condition de contrôle géométrique de Bardos-Lebeau-Rauch-Taylor. Dans un premier temps, on donne un lien entre la décroissance polynomiale de l'énergie et la contrôlabilité de l'équation de Schrödinger associée.
Dans un second temps, on se focalise sur le tore 2-D. Toujours en supposant que le contrôle géométrique n'est pas réalisé, on montre deux
bornes a priori sur le taux de décroissance (polynomial). On montre que si l'amortissement est régulier, la meilleure borne a priori peut être
réalisée. Au contraire, si l'amortissement est la fonction caractéristique d'une bande, on montre que cette meilleure borne a priori n'est pas atteinte.
En plus des propriétés dynamiques du flot géodésique, on met ainsi en évidence l'importance d'un autre facteur dans l'étude des taux de décroissance de l'énergie pour l'équation des ondes amorties : la régularité de l'amortissement (ou, plus précisément, son taux d'annulation).
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nalini Anantharaman (Orsay).
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Résumé:
le théorème ergodique semi-classique, du essentiellement
à Schnirelman (1974), affirme que les fonctions propres du laplacien
d'une variété riemannienne lisse (X,g) dont le flot géodésique est
ergodique
se répartissent uniformément sur X.
Dans un preprint récent (arXiv:1301.6783),
Dmitry Jakobson, Yuri Safarov et Alexander Strohmaier étendent le
théorème
de Shnirelman au cas de métriques riemanniennes discontinues le
long d'une hypersurface Z de X
On peut alors voir le flot géodésique comme un processus de
Markov : lorsqu'une géodésique rencontre Z, elle peut se réfléchir ou
se réfracter. L'ergodicité du flot géodésique est alors définie comme
celle de ce processus.
Je présenterai ce résultat, son extension
aux complexes simpliciaux (en particulier les graphes),
et un exemple simple d'une
métrique discontinue sur la sphère dont le flot géodésique est ergodique.
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Plan:
1. Processus et semi-groupes markoviens quantiques
2. Générateurs de Kossakowski-Lindblad-Davies
3. Exemple d'évolution quasi-libre sur l'algèbre de RCC
4. Exemple de W*-système pour une perturbation répétée
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