Pour se rendre au Campus de Beaulieu depuis la gare de Rennes
Résumé:
On se propose dans cet exposé d'étudier la croissance des normes $L^p$ pour les fonctions propres du Laplacien. Ce sujet ancien a une longue histoire qui remonte au moins aux estimées de Hörmander sur la fonction spectrale. La théorie déterministe est maintenant bien comprise et est optimale sur les sphères. On montrera en revanche que si on choisit au hasard les fonctions propres (sur les sphères) ou des quasi-modes (sur toute variété compacte), alors ces estimées déterministes peuvent être grandement améliorées. Il s'agit d'un travail en collaboration avec G. Lebeau (Univ. Nice).
Page personnelle
Résumé:
On présente quelques résultats* liés à l'étude de la possible
concentration d'une suite de fonctions propres dans des cylindres
d'orbites périodiques. On s'intéressera particulièrement aux billards
polygonaux et aux billards en forme de stade. Issus de collaborations
avec A. Hassell et J. Marzuola.
Page personnelle
Abstract:
We study the time evolution of bosonic quantum systems in the mean field regime. We show that the fluctuations around the limiting Hartree dynamics satisfy a central limit theorem. Interestingly, the variance of the limiting Gaussian distribution can be expressed in terms of a time-dependent Bogoliubov transformation arising from the analysis of the evolution of initial coherent states.
Page personnelle
Résumé:
Nous démontrons un résultat d'existence presque globale pour des équations
non-linéaires hamiltoniennes lorsque la condition initiale a une petite
norme de Sobolev.
Les variétés étudiées sont munies de structures de Toeplitz au sens de
Boutet de Monvel et Guillemin.
Cela permet de considérer des projecteurs de Szegö dans les non-linéarités.
Notre travail s'inscrit dans la continuité des travaux de Delort-Szeftel
et Bambusi-Delort-Grébert-Szeftel sur les sphères et les variétés de Zoll.
Page personnelle
Résumé:
Je présenterai un résultat de dynamique pour une famille de
champs de vecteurs Hamiltoniens au voisinage d'une bifurcation issue de la
mécanique des fluides. On établit l'existence d'orbites homoclines à
plusieurs boucles, ce qui correspond pour l'EDP initiale à des ondes
solitaires généralisées à plusieurs bosses. La structure de la
démonstration est très visuelle, en dimension 4, je l'expliquerai en
détails. Le fonctionnement effectif repose sur la preuve d'un théorème de
forme normale Hamiltonien et d'une normalisation locale convergente et
enfin sur l'utilisation d'un théorème KAM.
Page personnelle
Résumé:
Dans cet exposé, il s'agira de présenter le problème inverse
suivant : retrouver, au voisinage d'une trajectoire elliptique
non-dégénérée $\gamma$, le développement à tout ordre du symbole total du
hamiltonien quantique à partir de la formule des traces de Gutzwiller
associée à une certaine famille d'observables localisées autour de
$\gamma$.
Ce problème complète celui déjà présent dans la littérature : retrouver, à
partir de cette même formule, sans observables cette fois-ci, la forme
normale de Birkhoff du hamiltonien considéré.
Résumé:
On étudie le comportement limite des solutions de l'équation de Kawahara
$$
u_t +u_{3x} +\varepsilon u_{5x} + u u_x =0 \quad , \, \varepsilon>0
$$
lorsque $ \varepsilon $ tend vers 0 . Dans cette équation les termes $ u_{3x} $ et $ \varepsilon u_{5x} $ rentrent en compétition et se compensent exactement à des fréquences d'ordre $ 1/\sqrt{\varepsilon} $. Notre but est de montrer que, malgré cette annulation, on peut utiliser les effets dispersifs afin d'améliorer le résultat de convergence classique vers l'équation de KdV qui découle directement d'estimations d'energie et ne "voit" pas la dispersion.
Page personnelle