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Je parlerai d'un travail en collaboration avec Virginie Bonnaillie-Noël, Monique Dauge et Nicolas Popoff. Je présenterai quelques propriétés spectrales d'un opérateur de Schrödinger 2D avec potentiel dégénéré (dépendant d'un paramètre θ) apparaissant à l'occasion d'un problème de Schrödinger magnétique 3D ; en particulier, je donnerai un développement semi-classique des premières valeurs propres quand θ tend vers 0. Si le temps le permet, j'évoquerai (d'un point de vue heuristique) un travail connexe en cours avec Mikael Persson.
Résumé:
L'équation de Gross-Pitaevskii est une équation de Schrödinger non
linéaire qui modélise différents phénomènes physiques, en particulier, les
condensats de Bose-Einstein en mécanique quantique, ou les solitons
sombres en optique. L'objectif de cet exposé est de présenter plusieurs
travaux récents autour de la limite ondes longues de cette équation vers
les équations de Korteweg-de Vries en dimension un, et de
Kadomtsev-Petviashvili en dimension supérieure.
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On étudie la stabilisation et le contrôle interne de l'équation de Klein-Gordon critique sur des variétés de dimension 3. Sous des conditions géométriques légèrement plus fortes que la condition de contrôle géométrique classique, on prouve la décroissance exponentielle de solutions bornées dans l'espace d'énergie mais petites dans des normes plus faibles. La preuve combine la décomposition en profils et des arguments microlocaux. Cette décomposition, analogue à celle de Bahouri-Gérard sur R^3, nécessite l'analyse de certains effets dus à la géométrie. Elle utilise des résultats de S. Ibrahim sur le comportement d'ondes de concentration sur les variétés.
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Résumé:
On décrira une approche élémentaire qui permettra d'obtenir
des anciens et des nouveaux résultats de rigidité des métriques d'Einstein.
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Abstract:
We consider a two-dimensional non-self-adjoint differential operator,
originated from a stability problem in the two-dimensional Navier-Stokes
equation, given by ${\mathcal L}_\alpha=-\Delta+|x|^2+\alpha
\sigma(|x|)\partial_\theta$, where $\sigma(r)=r^{-2}(1-e^{-r^2})$,
$\partial_\theta=x_1\partial_2-x_2\partial_1$ and $\alpha$ is a positive
parameter tending to $+\infty$. We give a complete study of the resolvent
of ${\mathcal L}_\alpha$ along the imaginary axis in the fast rotation
limit $\alpha\to+\infty$ and we prove an estimate of type
$\sup_{\lambda\in\R}\|({\mathcal L}_\alpha-i\lambda)^{-1}\|_{{\mathcal
L}(\tilde L^2(\R^2))}\leq C\alpha^{-1/3}$, which is also optimal. Our
proof is based on a multiplier method, metrics on the phase space and
localization techniques.
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Résumé:
On considère un système fini de taille N, soumis à un potentiel
V, et couplé à chaque extrémité à un réservoir. Dans la limite des
grands temps le système total atteint un état stationnaire
hors-équilibre. L'objectif est de relier le comportement des courants
(de charge et d'énergie) présents dans cet état stationnaire, et en
particulier lorsque la taille N du système fini augmente, aux propriétés
spectrales de l'opérateur de Schrödinger $-\Delta+V$ correspondant.
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Résumé:
An cours des années récentes, plusieurs auteurs ont prouvé des bornes en $t^\epsilon$ pour la croissance des normes Sobolev de solutions d'équations de Schrödinger sur certaines variétés compactes (tores, sphères), l'exposant $\epsilon$ étant arbitrairement petit. Ces preuves reposent sur des propriétés de séparation des valeurs propres du laplacien sur la variété. Le cas le plus simple où ces hypothèses de séparation ne sont pas satisfaites est celui de l'oscillateur harmonique en dimension un. Dans ce cas là, nous construisons à l'aide du calcul pseudo-différentiel des exemples de perturbations non autonomes de l'oscillateur harmonique, telles qu'il existe des solutions à l'équation de Schrödinger associée dont les normes Sobolev croissent polynomialement.
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Résumé:
On étudiera la stabilité d'une famille de fonctions pour une équation de Navier-Stokes forcée par une source polarisée. A cette fin, on construit une
solution approchée du système mettant en avant un problème de couche limite au temps $t=0$ pour la vitesse. Le développement sur la vitesse présente un
comportement moyen faisant apparaître un phénomène de type "drift-diffusion".
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Résumé:
Je présenterai dans cet exposé une dérivation de l'équation de Boltzmann linéaire à partir d'une équation de Schrödinger avec un potentiel aléatoire Gaussien. J'utiliserai principalement deux outils: le calcul semiclassique pour gérer le petit paramètre décrivant le rapport entre les échelles microscopique et macroscopique, et le cadre mathématique de la théorie quantique des champs. Je me ramènerai en effet à une équation équivalente exprimée dans le cadre de la théorie quantique des champs, on peut alors utiliser alors des informations géométriques visibles dans ce cadre pour décrire des solutions approchées à l'équation de départ. J'expliquerai le principe général de la dérivation de l'équation et je donnerai quelques détails sur le contrôle de l'erreur commise en considérant plutôt ces solutions approchées.
Résumé:
Je parlerai de l'equation de Schrodinger nonlineaire critique et defocalisante. L'interet du cas critique est l'apparition de nouvelles limites de scaling.
Je montrerai que les solutions d'energie finie sont globales dans le cas de l'espace hyperbolique, de RxT^3 et du tore R^3. Ces resultats semblent indiquer que la seule obstruction a l'existence globale viendrait d'une solution Euclidienne (et donc il n'y aurait pas d'obstructions dans le cas defocalisant).
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Résumé:
We prove a Liouville theorem for a semilinear heat equation with
absorption term in one dimension. We also give some uniform estimates for
quenching solutions.