Landau


Le séminaire a lieu le lundi à 13h, en salle 4 (bât. 22-23).


Responsables : Adrien Fontaine, Marine Fontaine, Coralie Renault, Clément Rouffort.



   

Prochains exposés

Lundi 19 septembre.

Grégory Boil (IRMAR).

Champs magnétique confinant, forme normale et dynamique d'un état cohérent.

Le but de cet exposé est de présenter un travail en cours avec mon maître de thèse San Vu Ngoc. Ce dernier en collaboration avec Nicolas Raymond a réalisé l'étude spectrale de l'opérateur Laplacien magnétique dans le cas d'un champs magnétique confinant (i.e. qui confine la matière dans une zone de l'espace). Dans un premier temps je parlerai de cette étude. San et Nicolas avaient de plus explicité la mise sous forme normale (i.e. une forme plus facile à manipuler) de cet opérateur. Je tenterai de vous expliquer ce travail dans un deuxième temps. Enfin, après avoir défini la classe des états cohérents, je vous présenterai mes travaux concernant la dynamique d'un tel état dans un tel champs, et notamment comment en utilisant la forme normale on peut obtenir des résultats de propagation en temps long.

Lundi 3 octobre.

Clément Dell'Aiera (Institut Elie Cartan de Lorraine).

Les expanseurs .

Je voudrais vous présenter dans cet exposé une notion très utilisée en géométrie asymptotique (Coarse Geometry) : les expanseurs. Je partirai d'un problème concret de théorie des réseaux pour arriver à la notion d'expanseur. Nous exposerons ensuite quelques propriétés métriques remarquables de ces objets, notamment le fait qu'ils n'admettent pas de plongement uniforme dans l'espace de Hilbert, et les conséquences que cela a pour mon travail de thèse.

Lundi 17 octobre.

Charles Collot ( Laboratoire J.A Dieudonné, Nice).

Explosion en un point pour les équations de la chaleur et des ondes semi-linéaires .

L'équation de la chaleur $u_t=\Delta u+|u|^{p-1}u$ et des ondes $u_{tt}=\Delta u+|u|^{p-1}u$ semi-linéaires sont des variantes des équations classiques de la chaleur et des ondes où est ajouté un effet non linéaire faisant croître la solution. C'est un exemple typique d'équation d'évolution dont les solutions peuvent devenir singulières en temps fini (on parle alors d'explosion). L'étude de ce phénomène peut présenter des similitudes avec celles menées sur d'autres équations d'évolution non linéaires. En particulier, l'explosion en un point peut être causée par la concentration sur des échelles spatiales de plus en plus petites de profils particuliers. Depuis les travaux pionniers effectués par, entre autres, Fujita, Kaplan et Keller dans les années cinquante et soixante, la compréhension de ce type de comportement s'est approfondie. Après avoir présenté ce sujet de recherche, nous nous attarderons sur des résultats d'existence pour de telles dynamiques.

Jeudi 3 et vendredi 4 novembre 2016: Journée Louis Antoine XV

Lundi 7 novembre.

Magda Khalile (Laboratoire de mathématiques d'Orsay)

Valeurs propres d’un Laplacien de Robin sur des secteurs infinis .

Pour $\alpha \in (0,\pi)$, nous considérons $U_{\alpha}$ le secteur angulaire d’ouverture $2\alpha$, $U_{\alpha}=\lbrace (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2: \vert arg(x_1+ix_2)\vert < \alpha \rbrace$, et $T_{\alpha}$ le Laplacien agissant dans $L^2(U_{\alpha})$,$T_{\alpha}^{\gamma}=-\Delta u$, muni de la condition de bord de Robin $\partial_{\nu}u = \gamma u$ , où $\nu$ représente la normale sortante unitaire et $\gamma > 0$. Nous souhaitons étudier les propriétés spectrales de cet opérateur, et plus particulièrement le comportement de ses valeurs propres discrètes en fonction de l’angle $\alpha$. Le spectre essentiel de $T_{\alpha}^{\gamma}$ ne dépend pas de $\alpha$ et est égal à $[−\gamma^2,+ \infty)$. De plus, le spectre discret est non vide si et seulement si $\alpha< \frac{\pi}{2}$. Dans ce cas, nous montrons que le spectre discret est fini, puis nous étudions le comportement des valeurs propres lorsque $\alpha$ tend vers 0.

Lundi 21 novembre.

Victor Vilaça Da Rocha (Laboratoire Jean Leray, Nantes) .

Effet de couplage sur les comportements non linéaires des solutions de systèmes de Schrödinger.

A travers un système de deux équations de Schrödinger cubiques couplées, nous étudierons différents types de comportements non linéaires que l'on peut obtenir en EDP. Nous verrons comment le choix de l'espace des positions influe sur le type de résultat obtenu et sur la méthode employée.

Lundi 28 novembre.

Olivier Pierre (Laboratoire Jean Leray, Nantes) .

Nappes de tourbillon-courant analytiques en MHD incompressible.

Dans cet exposé, j'introduirai les équations de la magnétohydrodynamique (MHD) dans le cadre des fluides homogènes, incompressibles et non visqueux. Après avoir présenté brièvement ces équations, nous verrons comment construire des solutions analytiques à ce système en utilisant un théorème de Cauchy-Kowalevskaya. En second lieu, nous verrons comment généraliser cette méthode au problème des nappes de tourbillon-courant incompressibles. Ce problème, bien connu depuis les années 1950, modélise un cas particulier de cisaillement de deux plasmas le long d'une hypersurface, donnant lieu à une discontinuité tangentielle. Il s'agit à présent d'un problème couplé et à frontière libre, ce qui complexifie nettement le problème.

Lundi 12 décembre.

Coralie Renault (IRMAR).

Théorème de Crandall-Rabinowitz et applications aux V-states pour les équations d'Euler.

Dans cette exposé, on commencera par s'intéresser au théorème de Crandall-Rabinowitz qui est grosso modo une généralisation du théorème des fonctions implicites. Nous verrons comment ce théorème permet de prouver l'existence des poches de tourbillon en rotation uniforme (appelées aussi V-states) pour les équations d'Euler. L'idée est de partir de solutions triviales, le disque ou l'anneau qui avec n'importe quelle vitesse angulaire sont solutions, et d'essayer d'en construire de nouvelles en utilisant une technique de bifurcation qui s’appuie sur le théorème de Crandall-Rabinowitz et les applications conformes. Enfin nous verrons que dans le cas des anneaux et sous certaines conditions nous avons des petites boucles qui se forment.

Lundi 9 janvier.

Marine Fontaine (IRMAR).

Stabilité orbitale des états stationnaires de HMF Poisson .

Dans une première partie, je vous présenterai le modèle HMF Poisson (Hamiltonian mean field model) et expliquerai dans quel contexte, il apparaît. Je définirai ensuite la notion de stabilité orbitale. Puis dans un second temps, je démontrerai la stabilité orbitale des états stationnaires qui sont solutions d’un problème de minimisation à une contrainte. Pour finir, j’expliquerai comment il est possible de démontrer la stabilité orbitale d’une classe plus grande d’états stationnaires.

Lundi 23 janvier (Salle 4).

Kevin Le Balc'h (IRMAR).

Contrôle de chimie .

Dans un premier temps, je ferai un peu de modélisation : je parlerai de systèmes de réaction-diffusion qui sont des systèmes d'EDP paraboliques qui correspondent à des réactions chimiques. J'évoquerai les questions naturelles de contrôlabilité aux états d'équilibres de ces réactions. Ainsi, dans un second temps, je présenterai quelques notions de théorie du contrôle linéaire (juste celles qui nous serviront) : contrôlabilité, contrôlabilité en dimension finie, Hilbert Uniqueness Method, contrôlabilité à zéro de l'équation de la chaleur et contrôlabilité à zéro de systèmes paraboliques linéaires couplés. Je m'attarderai sur l'outil clef de cette partie : les inégalites de Carleman (qui peuvent servir dans d'autres domaines : problèmes inverses, etc..). Enfin, grâce à l'introduction de ces outils, j'essayerai de répondre aux questions du début d'exposé : pour certaines réaction chimiques, quels états d'équilibre peut-on atteindre ? Via quels types de contrôle ? La difficulté de cette partie résidera dans le fait que les sytèmes de réaction-diffusion étudiés sont nonlinéaires.

Jeudi 2 février (Salle 4).

Nathalie Ayi (IRMAR).

Lemmes de moyenne à vitesses discrètes aléatoires et approximation de Rosseland.

Les lemmes de moyenne constituent des outils très prisés et très efficaces lorsqu'il s'agit d'établir des changements d'échelle dans des modèles physiques par passage à la limite. En effet, ils permettent d'établir des propriétés de régularité dont on peut déduire de la compacité. Un résultat bien connu est que, dès lors que l'on travaille à vitesses discrètes, i.e. avec $\mathcal{V}_N := \{v_1, \dots, v_N \}$, un ensemble de $N$ vitesses muni de la mesure discrète $d \mu(v) = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \delta_{v=v_i}$, alors la propriété de régularité établie par les lemmes de moyenne devient fausse. Toutefois, comme prouvé par Mischler, dès lors que les vitesses discrètes proviennent d'une discrétisation de l'espace, les lemmes de moyenne peuvent être retrouvés asymptotiquement en faisant tendre le pas de la grille vers $0$. Dans un travail en collaboration avec Thierry Goudon, nous complètons le résultat de Mischler en quantifiant le défaut de régularité à $N$ fixé. D'autre part, nous établissons que dès lors que les vitesses discrètes sont tirées de façon aléatoire, on peut alors établir des lemmes de moyenne stochastiques. Nous appliquons ces résultats de lemmes de moyenne stochastiques au cadre de l'approximation de Rosseland, une équation associée au domaine des transferts radiatifs, et établissons la limite diffusive dans le contexte de vitesses discrètes aléatoires.

Lundi 6 février (Salle 805).

Jean-Jérôme Casanova (Institut mathématiques de Toulouse).

Existence de solutions fortes pour un système couplé fluide-structure avec des conditions limites sur le pression.

Dans cet exposé je présenterai un système modélisant l’interaction entre un fluide (par exemple du sang) et une structure (par exemple une veine). La modélisation mathématiques de ce problème fera intervenir les équations de Navier-Stokes ainsi qu'une équation de paroi élastique de type Euler-Bernoulli. Une attention particulière sera donnée aux conditions de bords faisant intervenir la pression. J'expliquerai ensuite la démarche général permettant de montrer l'existence locale de solutions fortes pour ce système.

Lundi 27 février (Salle 4).

Romain Horsin (IRMAR).

Quelques résultats d'amortissement Landau pour le modèle Vlasov-HMF.

L'équation de Vlasov-Poisson modélise l'évolution temporelle de la fonction de distribution des électrons dans un plasma. Je m'intéresserai à un modèle simplifié de cette équation, le modèle Vlasov-HMF (hamiltonian-mean-field), et à des solutions de celui-ci partant de petites perturbations d'un état stationnaire, qui vérifie un critère de stabilité linéaire. On peut alors démontrer que le champ électrique de la perturbation décroit vers zéro au cours du temps (amortissement Landau). Je présenterai d'abord ce résultat dans le cas d'états stationnaires spatialement homogènes, puis j'expliquerai comment, en passant en variables action-angle, on peut l'étendre à des états stationnaires non homogènes. Je parlerai également des aspects numériques du problème.

Lundi 6 mars à 14h.

Manon Deville (Institut de Mathématiques de Bordeaux).

A continuum mechanics model of enzyme-based tissue degradation in cancer therapies.

We propose a mathematical model to describe enzyme-based tissue degradation in cancer therapies. The proposed model combines the poroelastic theory of mixtures with the transport of enzymes or drugs in the extracellular space. The effect of the matrix degrading enzymes on both the tissue’s composition and its mechanical response is included in the model. Numerical simulations in 1D, 2D and axisymmetric (3D) configurations show how an injection of matrix degrading enzymes alters the porosity of a biological tissue. We eventually exhibit the main consequences of a matrix degrading enzyme pretreatment in the framework of chemotherapy: the removal of the diffusive hindrance to the penetration of therapeutic molecules in tumors and the reduction of interstitial fluid pressure which improves transcapillary transport. Both effects are consistent with previous biological data.

Lundi 13 mars.

Zoïs Moitier (IRMAR).

Étude des résonances dans un micro-résonateur optique.

Un micro-résonateur optique à modes de galerie est un dispositif constitué d’une cavité diélectrique, généralement de forme cylindrique ou sphérique, et de guides d’onde ou de fibres optiques servant à insérer la lumière dans la cavité et à l’en extraire. Le but est de calculer numériquement les résonances de micro-cavités. Cela conduit à résoudre un problème aux valeurs propres pour l'équation de Helmholtz dans l'espace tout entier, avec des conditions d'interface et d'ondes sortantes à l'infini. L'étude suivante sera faite sur un modèle simplifié unidimensionnel. Pour utiliser la méthode des éléments finis, on doit se ramener à un domaine borné. Ce sera fait à l'aide de Perfectly Matched Layers, qui introduiront des problèmes intermédiaires dont on étudiera les propriétés spectrales. On finira par la mise en œuvre numérique et l'influence des différents paramètres sur les courbes de convergence.

Lundi 27 mars.

Cécile Taing (Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6).

Dynamics of concentration in a population model structured in age and phenotypical traits.

We study a mathematical model of biological population structured by age and phenotypical traits. The interactions between individuals with a phenotypic variability ususally lead to competition and selection of the fittest individuals. The goals of this work are to describe the asymptotical behaviour of the solution to a renewal equation and then to derive properties that illustrate the selection phenomena. We consider the following model: \begin{equation} \begin{cases} &\epsilon \partial_t m_{\epsilon}(t,x,y)+\partial_x[A(x,y)m_{\epsilon}(t,x,y)]+(\alpha\rho_{\epsilon}(t)+d(x,y))m_{\epsilon}(t,x,y)=0,\\ &A(x=0,y)m_{\epsilon}(t,x=0,y)=\frac{1}{\epsilon^n}\int M(\frac{y'-y}{\epsilon})b(x',y')m_{\epsilon}(t,x',y')\mathrm{d}x'\mathrm{d}y',\\ &\rho_{\epsilon}(t)=\iint m_{\epsilon}(t,x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\\ &m_{\epsilon}(t=0,x,y)=m_{\epsilon}^0(x,y)>0,\\ \end{cases} \end{equation} with $x$ the age and $y$ a continuous phenotypical trait. The unknown $m_{\epsilon}$ is the population density and the function $A(x,y)$ represents the rate at which the population ages with the trait $y$. The parameter $\epsilon$ is used for a time rescaling. The quantity $\rho_{\epsilon}$ is the total density of the population. Here the mortality effect features a saturation term $\rho_{\epsilon}(t)$ and a death rate $d(x,y)>0$. The boundary condition describes the birth of newborns that happens with rate $b(x,y)>0$ and with the probability kernel of mutation $M$. As a first step, we begin with a simpler model by considering the competition and discarding the mutations. The analysis is lead by the study of an eigenvalue problem, with eigenelements depending on the structuring variables of the model. Then we tackle the problem with mutations, which leads to the study of a constrained Hamilton-Jacobi equation, following earlier works on similar issues, that poses technical difficulties since the Hamiltonian has an exponential growth on the gradient variable. This is a joint work with Vincent Calvez (ENS Lyon), Samuel Nordmann (EHESS) and Benoît Perthame (UPMC).

Lundi 3 avril.

Clément Rouffort (IRMAR)

Opérateur Laplacien sur les graphs.

Lors de mes travaux de recherche je suis amené à étudier l'équation de Schrödinger non-linéaire discrète (DNLS). L'hamiltonien associé à cette équation possède une partie dynamique libre ( opérateur Laplacien ) et une partie non-linéaire. Dans cet exposé je me concentrerai plus particulièrement sur l'opérateur Laplacien sur des graphs et sur quelques-unes de ses propriétés spectrales. Nous nous placerons dans le cas simple de graphs finis après avoir (ré)-introduit plusieurs notions concernant les graphs (pour ceux qui n'en ont jamais faits) et avoir introduit de façon générale l'opérateur Laplacien.

Lundi 24 avril.

Annalaura Stingo (Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications, Paris 13)

Existence globale et comportement asymptotique pour une équation de Klein-Gordon quasi-linéaire en dimension 1 d’espace, avec données initiales doucement décroissantes à l’infinie.

Soit u solution d’une équation de Klein-Gordon cubique, quasi-linéaire, en dimension 1 d’espace, avec données initiales régulières de taille petite. Il est connu que, sous certaines conditions sur la non-linéarité, la solution est globale en temps pour des données initiales à support compact. Nous montrons que ce résultat est aussi vrai quand les données ne sont pas à support compact mais seulement décroissantes à l’infini comme $x^{−1}$, en combinant la méthode des champs de vecteurs de Klainerman avec une méthode de formes normales semi-classiques. De plus, nous obtenons un développement asymptotique à un terme pour u lorsque, prouvant ainsi un résultat de scattering modifié.

Lundi 15 mai.

Tangi Migot (INSA Rennes) (salle 04).

Une méthode numérique pour les problèmes d'optimisation bi-niveaux.

Après avoir rappelé les notions essentielles de l'optimisation non-linéaire local, nous discuterons dans cet exposé de la résolution numérique de problèmes d'optimisation bi-niveaux, c'est-à-dire des problèmes d'optimisation contraints par un autre problème d'optimisation. Nous étudierons notamment la bonne définition de ce problème et ce que signifie résoudre dans ce contexte. Ensuite, nous verrons une méthode pour résoudre ce problème qui transforme le problème bi-niveaux en un problème d'optimisation sous contraintes de complémentarité. Enfin, nous conclurons sur l'algorithme utiliser pour résoudre le problème avec contraintes de complémentarité et son implémentation en JULIA.

17 - 19 mai 2017 .

Conférence "Analysis of transport equations: Vlasov equation and related models" .

Site de la conférence

22 - 24 mai 2017 .

Conférence "Local and global dynamics of concentrated vortices".

Site de la conférence

Jeudi 1 Juin.

Joackim Bernier (IRMAR) (salle 04).

Comment une travelling wave peut-elle se déplacer sur une grille?

L'équation de Schrödinger cubique (focusing) possède une famille de solutions orbitalement stables appelées travelling waves. On les appelle ainsi car leur évolution se réduit à une oscillation de leur phase et à une advection en espace à vitesses constantes. Après avoir rappelé l'interprétation physique des termes de cette équation et illustré le théorème de Noether dans le contexte des systèmes hamiltoniens, nous discuterons de l'existence et de la stabilité orbitale de travelling waves pour certaines de ses discrétisations en espace.

Lundi 12 juin.

Valentin Doli (IRMAR) (salle 04).

Phénomène de propagations de champignons parasites de plantes.

Nous considérons des organismes mixant reproductions sexuée et asexuée, dans une situation où la reproduction sexuée engage à la fois un phénomène de diffusion spatiale ainsi qu'une limitation de rencontre d'un partenaire sexuel de type compatible. Pour décrire l'évolution de telles populations, nous proposons un modèle qui engage deux équations couplées : une équation différentielle ordinaire, dite de type logistique, et une équation de réaction-diffusion. Après avoir introduit brièvement les considérations écologiques qui nous conduisent à ce modèle, nous prouverons dans un premier temps que le système sous-jacent possède une unique solution (abstraite) dans un espèce fonctionnel adapté. Dans un second temps, nous montrerons que les solutions de ce système sont en fait des traveling waves, ce qui coïncident avec nos simulations numériques. En perspectives, nous finirons par souligner l'existence d'un phénomène, appelé "critical initial data size", dont nous aimerions bien obtenir une formule explicite en fonctions des paramètres engagés dans notre système.

Lundi 26 juin.

Adrien Fontaine (IRMAR) (salle 04).

Relations de dispersion dans les plasmas magnétisés.

La propagation des ondes électromagnétiques dans un plasma magnétisé est un domaine qui a été très étudié par les physiciens des plasmas. Pour autant, de nombreuses questions restent ouvertes ou demandent à être clarifiées. Elles concernent par exemple l’impact des inhomogénéités du champ magnétique et du milieu ambiant, la description des régimes de propagation transverse, les interactions entre les ondes et les particules, etc. L’objectif de cet exposé sera de présenter les différents résultats obtenus pendant ma thèse sur le sujet. On s’intéressera dans un premier temps au cas des plasmas froids (à travers l’exemple de la magnétosphère terrestre), puis à celui des plasmas chauds en configuration axisymmétrique (comme dans les tokamaks).

Mardi 4 juillet à 10h30.

Soutenance de thèse d'Adrien Fontaine (salle 04-06).

16 - 18 octobre 2017 .

Rencontres Doctorales Lebesgue 2017 .

Site des Rencontres

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