Le séminaire a lieu les vendredis, de 10:30 à 12:00,
salle 016, rez-de chaussée du bâtiment 22, Campus de Beaulieu

Septembre 2006 Vendredi 15 Septembre Thierry Van Effelterre (GlaxoSmithKline Biologicals, Rixensart, Belgique) Modélisation des épidémies et de leur contrôle Résumé : Les modèles mathématiques de la transmission de maladies infectieuses permettent d’évaluer qualitativement et quantitativement l’évolution de telles maladies dans une population. Ces modèles sont de grande utilité afin d’évaluer l’impact de stratégies de contrôle telles que la vaccination. Cet exposé présentera les concepts de base de ces modèles et sera illustré par des exemples d’applications. La résolution de systèmes polynomiaux est un élément important de ces modèles et l’utilisation des méthodes numériques et formelles sera abordé. Octobre 2006 Vendredi 13 octobre à 15 heures Ali Ayad (IRMAR) Soutenance de thèse : Complexité de résolution de systèmes algébriques paramétrés. Résumé : On présente trois algorithmes dans cette thèse: Le premier algorithme résout des systèmes polynomiaux homogènes et paramétrés zéro-dimensionnels avec un temps simplement exponentiel en le nombre n des inconnus, cet algorithme décompose l'espace des paramètres en un nombre fini  d'ensembles constructibles et calcule le nombre fini de solutions par des représentations rationnelles paramétriques uniformes sur chaque ensemble constructible. Le deuxième algorithme factorise absolument de polynômes multivariés paramétrés avec un temps   simplement exponentiel en n et en la borne supérieure d de degrés de polynômes à factoriser. Le troisième algorithme décompose les variétés algébriques définies par de systèmes algébriques paramétrés de dimensions positives en composantes absolument irréductibles d'une manière uniforme sur les valeurs des paramètres. La complexité de cet algorithme est doublement exponentielle en n. D’autre part, la borne inférieure du problème de résolution de systèmes algébriques paramétrés est doublement  exponentielle en n. Novembre 2006 Vendredi 17 novembre Jean-Claude Carlach (France-Télécom R&D) Les codes Treillis-LDPC Vendredi 24 novembre Colas Bardavid (IRMAR) Théorie de Galois différentielle inverse : au delà du cas connexe. Résumé : Il s'agit d'une présentation du papier "On the Constructive Inverse Problem in Differential Galois Theory" de Cook, Mitschi, Singer (Communication in Algebra, 2005). Décembre 2006 Vendredi 8 décembre Cédric Faure (INRIA) "Protocoles cryptographiques utilisant les codes correcteurs d'erreurs" Résumé : Cet exposé a pour but de présenter de façon très générale la théorie des codes correcteurs, et son utilisation en cryptologie. Nous exposerons les résultats fondamentaux obtenus dans le domaine, ainsi que les problématiques du sujet, telles qu'elles sont abordées par la communauté informatique. Janvier 2007 Vendredi 19 janvier Antoine Chambert-Loir (IRMAR) Compter (rapidement) le nombre de solutions d'équations dans les corps finis. Vendredi 25 janvier, exceptionnellement à 10h15 Patrick Sole (INRIA, Sophia Antipolis) Four applications of Z_4-codes (résumé) Lundi 29 janvier - Vendredi 2 février Journées Nationales de Calcul Formel (CIRM). Février 2007 Vendredi 16 février Saugata Basu (Georgia Tech) Combinatorial Complexity in O-minimal Geometry Résumé : In this talk I will state some tight bounds on the combinatorial and topological complexity of sets defined in terms of $n$ definable sets belonging to some fixed definable family of sets in an o-minimal structure. This generalizes the combinatorial parts of similar bounds known in the case of semi-algebraic and semi-Pfaffian sets, and as a result  increases the applicability of results on combinatorial and topological complexity of arrangements studied in discrete and computational geometry. As a sample application, we extend a Ramsey-type theorem due to Alon et al., originally proved for semi-algebraic sets of fixed description complexity to this more general setting. Mars 2007 Vendredi 9 mars Alexei Tsygvintsev (UMPA-ENS Lyon) L'étude de groupes de monodromie dans les problèmes de mécanique. Résumé : Les problèmes de mécanique (le problème des trois corps, l'équation de rattleback etc) nous conduisent à des exemples non triviaux de systèmes fuchsiens.  La question suivante apparaît souvent dans l'étude  de leur intégrabilité. On se donne une équation différentielle linéaire d'ordre supérieur à deux qui contient des paramètres et dont toutes les  singularités sont régulières.  Nous considérons le groupe de monodromie $G$ associé.  Comment reconnaître  des valeurs de paramètres  pour lequels $G$ possède un invariant rationnel ou polynomial ? En général ce problème n'est pas algorithmiquement résoluble. Néanmoins, dans les cas mécaniques, normalement très riches de symétries,  cette question peut être abordée. Dans cet exposé nous présentons  une méthode basée sur le couplage des monodromies locales qui utilise largement des outils du calcul formel. Vendredi 30 mars Markus Schweighofer (Universität Konstanz) Dérivées et sommes de carrés des polynômes. Résumé: On considère le problème de déterminer de façon numérique l'infimum globale d'un polynôme f réel à plusieurs variables borné inférieurement. Ce problème est équivalent à calculer la borne inférieure maximale de f, donc le plus grand a tel que f-a est positif. Bien que ce problème soit très difficile à résoudre, il existe des algorithmes très efficaces pour calculer le plus grand a tel que f-a est une somme de carrés de polynômes. Malheureusement la positivité d'un polynôme peut rarement être certifiée par l'écriture comme somme de carrés. De ce fait, Demmel, Nie et Sturmfels ont récemment essayé de surmonter ce problème en ajoutant des idées classiques du calcul différentiel. Ils ont montré l'existence des certificats appropriés pour la positivité d'un polynôme sur ses points critiques. Cependant la méthode résultante ne donne pas toujours l'infimum globale non plus. Il y a par exemple des polynômes qui, bien que bornés inférieurement, n'atteignent pas de minimum et n'ont même pas de point critique. Afin de pouvoir traiter ces polynômes <<difficiles>>, je considère des ensembles S semi-algébriques contenant les points critiques qui sont suffisament grands pour que l'infimum globale de f soit égal à l'infimum de f sur S mais suffisament petits pour que les certificats nécessaires de positivité existent. Pour satisfaire ces deux exigences en même temps, j'utilise une sorte de <<compactification algébrique de Stone-Cech>> mais aussi des théorèmes concernants le comportement d'un polynôme à l'infini ainsi que la théorie des points critiques généralisés et son lien avec l'ensemble de bifurcation de René Thom. Avril 2007 Vendredi 20 avril Richard Leroy (IRMAR) Certificat de positivité dans la base de Bernstein multivariée. Résumé : Soit P un polynôme réel en k variables, et V un simplexe de R^k. On considère le problème suivant : P est-il positif sur V? L'objet de cet exposé est de présenter un algorithme répondant à cette question, et dans le cas où P est positif, fournissant un certificat de positivité de P sur V. Il s'agit d'une écriture de P qui rend évident le fait que P soit positif sur V. Des algorithmes basés sur des écritures en somme de carrés ont déjà été étudiés, mais il s'agit d'algorithmes numériques. Nous présentons dans cet exposé un algorithme exact basé sur la décomposition de P dans la base de Bernstein associée au simplexe V, et généralisant le travail effectué par Roy, Boudaoud et Caruso dans le cas univarié. Mai 2007 Mercredi 23 mai, 10 h, salle 4 Lourdes Juan (Texas) SO(3) torsors: classification and construction of differential equations Mercredi 30 mai, 10h30, salle 4 Luis Tabera (Cantabrie-Rennes) Hypercercles et reparamétrisation de courbes rationnelles Juin 2007 Vendredi 1er juin Adrien Poteaux (Université de Limoges) Calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane. Résumé. Les méthodes numériques de prolongement utilisées, par exemple par Maple, pour calculer la monodromie d'une courbe algébrique plane conduisent parfois à des résultats faux car les pas et les erreurs numériques ne sont pas controlées rigoureusement. Cet exposé présentera une méthode numérique - symbolique qui utilise des chemins suivant un arbre de recouvrement minimum et des développements de Puiseux tronqués pour connecter les points à chaque étape. Nous présenterons notamment une approche modulaire-numérique des calculs des développements de Puiseux au dessus des points   critiques. Le but de cette approche est de pouvoir ensuite controler les erreurs numériques lors du calcul des périodes de la courbe algébrique plane, afin d'obtenir une version effective du théroème d'Abel-Jacobi. Une première version de l'algorithme est programée en Maple. C'est un travail en cours dans le cadre de ma thèse dirigée par Marc Rybowicz et Moulay Barkatou. Vendredi 8 juin Guy Casale (IRMAR) Réductibilité et Groupoïde de Galois d'une équation différentielle. Résumé. Après avoir rappelé la définition du groupoïde de Galois d'un feuilletage suivant B.Malgrange, nous expliquerons comment la connaissance du groupoïde de Galois d'une équation différentielle permet d'obtenir des résultats d'irreductibilité au sens de Painlevé-Nishioka-Umemura sur cette équation. Nous regarderons plus particulièrement le cas de la première équation de Painlevé : y'' = 6y^2+x. Vendredi 15 juin Vikram Sharma (INRIA Sophia Antipolis)   Complexity of Real Root Isolation Using Continued Fractions (fichier pdf de l'exposé). Abstract: Vincent had proposed an algorithm for isolating real roots of a univariate polynomial using continued fraction expansion of the roots. However, his algorithm had an exponential running time. Akritas had proposed a modification of Vincent's algorithm to overcome this drawback, but the worst case bounds on the complexity of the algorithm are based on impractical assumptions. In this talk, we will give the first polynomial worst case bound on the running time of Akritas' algorithm. Vendredi 22 juin Julien Roques (Toulouse) Groupes de Galois des équations aux q-différences fuchsiennes et théorème de densité. Résumé. Le groupe de Galois d'une équation différentielle linéaire donnée peut être calculé par diverses méthodes, plus ou moins algébriques. Dans le cas singulier régulier, l'une d'entre elles, de nature transcendante, résulte du théorème de densité de Schlesinger exprimant essentiellement le fait que les monodromies engendrent le groupe de Galois. Un résultat de densité analogue existe pour les groupes de Galois des équations aux q-différences fuchsiennes (J. Sauloy). Dans ce cas, les générateurs sont construits à partir des matrices de Birkhoff "tordues". Après quelques rappels sur ce résultat, nous indiquerons comment il peut être appliqué pour calculer explicitement les groupes de Galois des équations hypergéométriques basiques en insistant sur les différences importantes avec le cas différentiel.   Juillet 2007 Lundi 2 juillet, 10h, salle 4 Maria Przybylska (Torun Center for Astronomy) Preliminary results of the integrability analysis for homogeneous Hamiltonian systems with three degrees of freedom Abstract: We continue a systematic integrability analysis of the  Hamiltonian systems with  polynomial homogenous potentials.  This analysis  consists of two elements. At the begining we apply necessary integrability conditions  obtained from Morales-Ramis theory  to the variational equations along particular  solutions  defined by Darboux points. We called  this analysis the local analysis and it gives strong conditions on eigenvalues of the Hessian of the potential calculated at Darboux points . In the next step we apply some universal relations between eigenvalues calculated at different Darboux points. This two-step analysis yields the stongest known necessary integrability conditions and enables to attack the problem of classisfication, as complete as possible, of integrable homogeneous potentials. In the previous works such analysis was done for Hamiltonian systems with two degrees of freedom. Now some preliminary results for Hamiltonian systems with three degrees of freedom will be presented. Also the problems appearing durring the passage from two to three degrees of freedom will be shown as well as new integrable potentials.