| Christophe Doche |  |
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Date de l'exposé : 21 mars 2003
Moments des polynômes de Rudin-Shapiro (en collaboration avec L. Habsieger)
Les polynômes de Rudin-Shapiro trés utilisés en théorie du signal sont définis par $P_0(z) = 1$, $Q_0(z)=1$ et $P_{n+1}(z) = P_n(z) + z^{2^n}Q_n(z),$ $Q_{n+1}(z) = Q_n(z) - z^{2^n}Q_n(z)$. En 1968, Littlewood a montré que les moments d'ordre 4 des polynômes $P_n(z)$ i.e. $\mathcal{M}_4(P_n)=\int_0^1 |P_n(e^{2i\pi t})|^4\, dt $ satisfaisaient une récurrence linéaire de degré $2$ et en a déduit que $\mathcal{M}_4(P_n)\sim \frac43 4^n.$ Plus tard Saffari a conjecturé que pour $q$ pair $\mathcal{M}_q(P_n)\sim \frac{2^{q/2}}{q/2+1} 2^{nq/2}$.Nous montrons ce résultat pour $q\leqslant 52$ et donnons la récurrence minimale explicite pour $q\leqslant 32$. Ce travail a été rendu possible grâce à un nouvel algorithme pour calculer les moments de ces polynômes.
